Coses que passen amb el 2015

Algunes cosetes que segurament no semblaran li gens interessants del 2015:

• Es pot escriure de forma palindròmica com un producte de primers: 2015 = 31 * 5 * 13.

• 2015 en base 2 també té una expressió palindròmica (capicua): 2015=11111011111₍₂. 

• En base 4 repeteix la cadena 133: 2015=133133₍₄. I en base 8 repeteix el 37: 2015=3737₍₈.

• És un número de Lucas-Carmichael. Aquests números són els números n=p·q·r tals que (n+1) és múltiple de (p+1), de (q+1) i de (r+1). Ja hem vist abans que 2015 en producte de primers és 2015=5*13*31 i 2016 és múltiple de 6, de 14 i de 32.

• Ara fixem-nos en el 2014, 2015 i 2016 i la seua descomposició en primers. 2014=2*19*53; 2015=5*13*31 i 2016=2⁵*3²*7. Els tres números tenen 3 factors primers diferents, això que ara porta passant dos anys ja que el 2013 també compleix aquesta propietat no tornarà a passar fins el 2018, 2109 i 2110. Em sap greu però no ho podré recordar en aquells temps.

• Aquesta és molt guapa: 2015 és la mitjana aritmètica dels 77 primers quadrats: 2015=(1 + 4 + 9 + 16 + 25 +...+ 5929)/77.

• La suma dels dígits de 2015: 2 + 0 + 1 + 5 = 8 coincideix amb el nombre de divisors que té: {1, 5, 13, 31; 65, 155, 403, 2015}. 

• Una altra propietat molt bèstia: si a 2015 li anem restant potències de 4 obtenim sempre nombres primers. 2015-4¹=2011; 2015-4²=1999; 2015-4³=1951; 2015-4⁴=1759, 2015-4⁵=991.

• 2015 és un divisor de 92⁴-1. 

• El nombre 109876543210987654321...10987 que té 2015 dígits és un nombre primer.

• El 2015 apareix en la posició 19.037 dels decimals de pi.

• 2015 no es pot posar com a suma de tres quadrats, però si ho podem escriure com una diferència de cubs: 2015=14³-9³.

• 2015 és suma de 10 potències de 2: 2015=2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰.

• 2015=31 * (32 + 33)

• 2015=(2⁵-1)*(2⁶+1)

• 2015=(1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6)*(7 + 89) - 1- 0.

• 2015= 10*9*(8+7+6)+5*(4!+3-2-1*0).

• 2015=(11* (11 + 1 + 1) + 11 + 1) * (11 + 1 + 1)

• 2015=2222 - 222 + 22 - 2 - 2 - 2 - 2/2

• 2015=(33 + 33 - 3/3) * (33 - 3!/3)

• 2015=(4 * 4 * 4 + 4/4) * (4 * (4+4) - 4/4).

• 2015=(55 + 5 * 5)* 5 * 5 + (5 + 5 + 5).

• 2015=(6 + 6 + 6) * (6 + 666) / 6 - 6/6

• 2015=7 * 7 * 7 * 7 - 7 * 7 * 7 - 7 * 7 + 7 - 7/7.

• 2015=(8 * 8 +8/8) * (8 + 8 + 8 + 8 - 8/8).

• 2015=999 + 999 + 9 + 9 - 9/9.

• Amb les primeres xifres de pi: 2015=(3 + 1 + 41) * 59 - (2 + 6 + 5 + 3)*5*8 

I per acabar li faig saber que 2015 té exactament tres divendres 13. Bon any 2015.