El teorema de Pitàgores és un teorema purament geomètric tot i que no ho sembli. El teorema ens diu que un triangle és rectangle si i només si l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets.
Aquí pot veure la demostració feta en Geogebra (si no veu bé la inserció pot clicar aquí):
Si escrivim en llenguatge algebraic aquesta relació ens apareix la que potser és la fórmula més famosa de les matemàtiques: x2+y2=z2.
Aquesta fórmula relaciona els costats dels triangles rectangles i això ja ho sabien egipcis i babilonis, que van viure força abans que el senyor Pitàgores. Els egipcis feien servir aquesta relació per a construir les piràmides per exemple. Això va comportar que construïssin llistats de nombres enters que complissin aquesta relació.
El més conegut és el format pels enters: x=3, y=4 i z=5 ja que 32+42=52 i que els professors de matemàtiques fem servir a punta pala. Però també tenim les solucions x=5, y=12 i z=13; x=6, y=8 i z=10... i moltes més que poden obtenir a partir de les expressions x=s2-t2, y=2st, z=s2+t2 on s i t són enters positius primers entre sí i tals que s<t. Tots aquests nombres es coneixen amb el nom de ternes pitagòriques i Euclides ja va demostrar fa dies que de ternes pitagòriques n'hi ha infinites. Aquí en pot trobar un bon sarpat.
Però si passem dels quadrats a les potències cúbiques la cosa canvia molt més del que pot arribar a imaginar-se. L'equació x3+y3=z3 no admet cap solució amb nombres enters positius! Això, geomètricament, vol dir que si tenim dos cubs d'arestes enteres x i y, no existeix cap cub d'aresta entera z tal que el seu volum sigui igual a la suma dels volums dels altres cubs.
Al segle XVII, Pierre de Fermat considerà la forma general d'aquests tipus d'equacions: xn+yn=zn i intentà buscar solucions enteres positives x, y, z per exponents majors o iguals a 3. Fermat va aprofitar per marcar-se un farol i deixar escrit en el marge d'un llibre una notació on afirmava que havia demostrat la no existència de solucions enteres en aquest tipus d'equacions però que no la podia transcriure per falta d'espai tot i tenir un breu i brillant raonament. Toma ya! Realment Fermat va aconseguir demostrar-ho o era un bromista? No ho sabrem. L'únic que podem dir és que el ja conegut com l'Últim teorema de Fermat (UTF) va haver d'esperar 300 anys en ser demostrat i ho va aconseguir l'any 1993 Andrew Wiles: el 23 de juny ho exposava a l'institut Isaac Newton de Cambridge. Però res, va resultar que en la demostració hi havia una errada. Un any després, el 19 de setembre de 1994, el propi Wiles i el seu alumne Richard Taylor van aconseguir completar la demostració sense cap errada. Wiles va romandre set anys tancat a casa dedicat exclusivament a aquesta resolució. En aquell època jo era estudiant de la facultat de Matemàtiques de la UAB i imagini's el rebombori que comportà!
 |
| Andrew Wiles amb l'enunciat de l'UTF |
Molts havien atacat la demostració de l'UTF anteriorment. Alguns d'aquests van tenir la idea d'endinsar-se en el món de les corbes o les superfícies en el pla i trobar coordenades enteres de punts, van convertir un problema d'enters aparentment senzill en un complicat problema de geometria algebraica. Gràcies a totes les idees aportades Wiles va poder concloure la demostració.
Ara, Andrew Wiles, de la universitat d'Oxford ha estat guardonat amb el Premi Abel 2016 de matemàtiques que atorga la Norwegian Academy of Science and Letters "per la seua impressionant demostració de l'últim teorema de Fermat mitjançant la conjectura de modularitat de corbes el·líptiques semiestables, iniciant una nova era en la teoria de nombres".
En aquest programa de la BBC es pot veure un documental de 45 minuts sobre l'UTF -estaria bé que de tant en tant TV3 en fes algun, enlloc de tantes històries de futbolistes...-:
BBC Horizon - Fermat's Last Theorem from mmenchu on Vimeo.
Més enllaços relacionats:
- L'últim Teorema de Fermat a Gaussianos.
- Andrew Wiles recibe el premio Abel 2016 a La Ciencia de la Mula Francis.
- How math's most famous proof nearly broke a Nautilus.
- Fermat's last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize a la revista Nature.
- El teorema de Fermat y sus historias (imprescindible si ho vol conèixer tot) de Leo Corry a la Gaceta de la RSME.
Altres escrits que he fet sobre el Premi Abel:
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada