La concentració de la mesura

“De manera contraintuïtiva, quan un procés depèn d'una sèrie de diferents fonts d'aleatorietat, en lloc de complicar-se, és possible que els diferents factors aleatoris es compensin entre si i produeixin resultats més previsibles.” Així explica l'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres el fenomen probabilístic de la concentració de la mesura, un fenomen estudiat pel matemàtic francès Michel Talagrand i pel qual (entre altres àrees d’estudi més) ha estat guardonat amb l’Abel Prize 2024, l’equivalent en matemàtiques del Nobel i del qual ja n’hem parlat en anteriors articles.

Per entendre bé això de la concentració de la mesura pensem en el llançament d’una moneda a l’aire. Si la moneda no està trucada i la llancem un sol cop tenim un 50% de possibilitats que surti cara i un 50% que surti creu. Si la llancem dos cops, la probabilitat que surti almenys una cara és del 75% i que en surtin exactament dos és del 25%. Amb tres llançaments hi ha un 87,5% de probabilitat que surti almenys una cara, i un 50% que surtin almenys dos cares. A mesura que anem augmentant el nombre de tirades la cosa es va complicant. Amb deu tirades, la probabilitat que surtin 4, 5 o 6 cares és del 65,6%. Amb 15 tirades, la probabilitat d’obtenir 6, 7, 8 o 9 cares és del 69,8%; en canvi la probabilitat d’obtenir-ne 1, 2 o 3 és només de l’1,75%. Amb 100 llançaments hi ha una probabilitat del 72,9% d’obtenir entre 45 i 55 cares. Amb 500 tirades la probabilitat d’obtenir entre 235 i 265 cares és del 83,4% però gairebé nul·la si volem obtenir-ne més de 300. Gràcies a la concentració de la mesura podem estimar que si llancem la moneda 1000 vegades hi ha una probabilitat del 99,7% que surtin entre 450 i 550 cares, mentre que la probabilitat que surtin més de 600 cares és de 0,000005%.

Llançar una moneda és un procés aleatori els resultats dels quals es distribueixen segons una corba anomenada campana de Gauss, on tenim probabilitats altes en la part central i molt baixes en els extrems. Tot i que aquestes distribucions han estat estudiades des de fa segles i modelitzen moltíssimes situacions quotidianes -és coneguda com a llei normal-, Talagrand va demostrar un conjunt de desigualtats que intenten explicar de la forma més precisa possible què succeeix en aquestes situacions a mesura que ens allunyem del centre.

Amb aquests estudis els matemàtics volen entendre la relació que hi ha entre els resultats individuals aleatoris i el comportament conjunt quan aquest esdeveniment es repeteix, de tal manera que esdeveniments aleatoris poden conduir a resultats molt predictibles encara que cada resultat sigui impossible de predir.

Michel Talagrand

Talagrand no ha rebut l’Abel només pel seu treball en la concentració de la mesura, sinó també per l’estudi de seqüències aleatòries anomenades processos estocàstics i per l’spin glass, l’estudi de patrons en materials i que ajudà a Giorgio Parisi a rebre el Nobel de Física el 2021.

(Article publicat al Lectura el 14 d'abril de 2024)