Equacions de Navier-Stokes

Fa unes setmanes el canal de divulgació d’AEMET, l’Agència Estatal de Meteorologia que durant aquells dies va estar en el punt de mira d’alguns polítics, explicava el funcionament dels models meteorològics i el procés científic i tècnic en el qual es basava l’elaboració de les prediccions del temps. Evidentment, i ja ho hem comentat en alguns articles, la quantitat de matemàtiques que hi ha en aquest estudi són immenses: derivades, equacions, probabilitats, sistemes dinàmics… En l’article d’avui ens fixarem en la famosa equació de Navier-Stokes. I per què és tan famosa en el món matemàtic? Doncs perquè trobar les solucions d’aquestes equacions és un dels problemes del mil·lenni i està recompensat amb un milió de dòlars atorgats pel Clay Mathematics Institute, del qual també en vam parlar en un altre article.

L’atmosfera que ens envolta és un fluid en rotació i estudiar el moviment dels fluids amb totes les magnituds que hi intervenen (temperatura, velocitat, densitat, viscositat…) ha estat sempre un problema complicat per als matemàtics. L’any 1755, el gran Leonhard Euler, que deu ser el matemàtic que més cops ha aparegut en aquesta secció, ja va escriure sobre el tema l’article Principis generals del moviment dels fluids. També s’hi van posar els germans Johann i Daniel Bernoulli i Augustin Cauchy, però els que s’han endut la fama a la posteritat pel seu estudi han estat els matemàtics Claude-Louis Navier i George Gabriel Stokes. Ambdós van arribar a aquestes equacions de forma independent, en un principi Navier va fer algunes errades matemàtiques que va corregir però com Stokes, vint anys després, va fer bé les matemàtiques sabem que la resposta final de Navier també va ser correcta.

Aquestes equacions són unes equacions que s’anomenen en derivades parcials (EDP) i, en matemàtiques, quan intervenen les derivades ens vol dir que estem estudiant algun canvi, en aquest cas el canvi al llarg del temps de les velocitats entre diferents punts del fluid en unes condicions concretes. Les equacions per si soles tenen poca gràcia, s’han de resoldre i poder resoldre aquestes equacions ens ajudaria a entendre com flueix l’aigua, l’aire o el flux sanguini però com us podeu imaginar resoldre-les és una cosa molt complicada ja que un fluid ja és complicat en sí, només cal que us fixeu en com surt l’aigua quan obrim poc l’aixeta o quan la fem girar al màxim. O en les onades de la platja com de diferents poden ser només en una estona. El matemàtic francès Jean Leray va demostrar que de solucions n’existeixen, però una altra cosa és trobar-les. Gràcies a l’ús d’ordinadors hem aconseguit aproximar-ne. La idea és dividir l’espai que volem estudiar en moltes regions molt petites (malla computacional) i calcular la velocitat en intervals de temps molt i molt petits en els vèrtexs d’aquesta malla, com més petits siguin els intervals de temps en què calculem aquesta velocitat més ens aproximem al seu ritme de canvi real. Però clar, per això la computació cada cop necessita més temps de càlcul i més memòria de processament.  Tanmateix, l’enginyeria aeronàutica i la meteorologia les estan utilitzant amb molt d’èxit.

Teoria del caos

El meteoròleg Edward Lorenz plantejava si existeix una solució de les equacions de Navier-Stokes vàlida per a qualsevol instant futur a partir d’un determinat estat inicial, és a dir, si podríem predir el temps amb absoluta precisió per qualsevol moment futur. I si coneixem les equacions com és que ens costa tant predir amb fiabilitat el temps? Lorenz va concloure que el temps és un sistema caòtic.

(Article publicat al Lectura el 24 de novembre de 2024)