La paradoxa del conjunt

Ara fa uns dies, el company Estanislau Fons, a qui vàreu llegir en aquesta mateixa secció fa dos diumenges i a qui tornareu a llegir d’aquí dos diumenges, publicava a Twitter la foto que podeu veure acompanyant l’article. La foto, feta en un tren de rodalies de Barcelona, indica que per accedir a un martell trenca-vidres cal trencar el vidre. És a dir, cal trencar el vidre per accedir al martell que trenca el vidre.

Això ens va fer pensar en una de les cèlebres paradoxes de Bertrand Russell, un curiós matemàtic de qui ja he parlat més d’un cop i que va guanyar el premi Nobel de Literatura. Segons el DIEC una paradoxa és un “enunciat o raonament que porta a dues conclusions aparentment contradictòries.” I Russell era un especialista a embolicar la gent amb elles.

Per explicar aquesta paradoxa cal que tinguem clar que un conjunt és una col·lecció d’objectes que tenen alguna característica i que els elements d’un conjunt són els membres que pertanyen  al conjunt. Per exemple el conjunt dels nombres parells està format pels elements {2, 4, 6, 8…}. Els elements d’un conjunt s’escriuen matemàticament entre claus { } i poden ser finits o infinits com el cas del nostre exemple. Els conjunts poden tenir com a elements altres conjunts, per exemple podem imaginar el conjunt {{nombres parells},{nombres imparells}}, un conjunt amb dos elements que al mateix temps són conjunts amb infinits elements. Un cop dit tot això, a Russell se li plantejà la pregunta «Pot un conjunt tenir-se a si mateix com a element?» Suposo que després de pensar-hi molt Russell va escriure «Em sembla que hi ha una classe de conjunts que sí i una altra classe de conjunts que no». I va posar un exemple molt anglosaxó i obvi amb culleretes de te: el conjunt de totes les culleretes de te no és una cullereta de te i per tant no es conté a si mateix com a element.

Però Russell, que era molt llest, no defallia en la recerca del seu conjunt i va pensar en el conjunt de totes les coses que no són culleretes de té, és a dir, croissants, morters d’allioli, xancletes, atomitzadores… Tot excepte les culleretes de te. Aquest nou conjunt de coses que no són una cullereta de te ¡no es una cullereta de te! I per tant, com no es una cullereta de te, ha de ser un element de si mateix.

Un altre exemple proposat va ser el conjunt de “tots els conjunts que es poden anomenar utilitzant vint paraules o menys”. Per exemple, el conjunt de “totes les colles de l’Aplec del Caragol” formaria part d’aquest conjunt perquè hem necessitat només vuit paraules per enunciar-lo. O el conjunt de “tots els articles de ciència del Lectura” també en formaria part perquè només necessita set paraules per anomenar-lo. D’aquesta forma el conjunt que els seus elements són “conjunts que es poden anomenar utilitzant vint paraules o menys” només necessita deu paraules i per tant formaria part d’ell mateix.

Russell va anar més enllà encara i es va posar a pensar en el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateix com a element… aquest conjunt és un conjunt que es conté a si mateix com a element? I aquí a Russell, i a molts altres estudiosos de la lògica, els va explotar el cap.

(Article publicat a la revista Lectura el 16/2/2020)