La llei de Benford

Telèfons, codis, dates, temperatures, targetes de crèdit, preus, documents d’identitat, impostos, factures, matrícules… vivim envoltats de números. Si ens fixem en el primer dígit de tots aquests números... totes les xifres apareixen amb la mateixa freqüència? En telèfons el 6 i el 9 guanyen per golejada com a primera xifra, en les dates l’1 i el 2 són els primers dígits més freqüents i en documents d’identitat segurament seria el 4. Però, i en el conjunt de tots els números que fem servir hi ha algun dígit que té tendència a fer-se servir més que un altre com a primera xifra?

El primer que s’aturà a pensar en això va ser l’astrònom Simon Newcomb quan s’adonà que als llibres de taules logarítmiques (unes eines de càlcul que els astrònoms feien servir habitualment perquè simplificaven els càlculs amb nombres de molts dígits) es desenquadernaven més sovint les primeres pàgines que no pas les últimes. Newcomb postulà que això era degut a què els usuaris d’aquests llistats feien servir més sovint números començats per 1 o 2 que no pas per 8 o 9. Fins i tot s’animà a trobar una fórmula que permetia calcular la probabilitat que un número comencés per un determinat dígit.

El 1938 el físic de la General Electric Frank Benford publica l’article «The law of anomalous numbers» en el qual, a partir de recollir 20.299 nombres de situacions tan diferents com les constants físiques, els resultats de beisbol o adreces, conclou que el dígit 1 apareix un 30,1% de vegades com a primera xifra d’un nombre, el 2 apareix un 17,6% i el 9 només un 4,6%. Fixeu-vos que els números començats per 1 o per 2 ja representen el 47,7% del total. Gairebé la meitat!

Com succeeix a molts descobriments matemàtics, en un principi no deixen de ser una curiositat en què els matemàtics s’hi entretenen. Però fa cosa de vint-i-cinc anys l’economista Mark Nigrini, que portava ja temps jugant amb la llei amb el seu ordinador i les mides dels arxius, va proposar aquesta llei com a idea per detectar fraus fiscals. Nigrini es va adonar estudiant els números que sortien en la comptabilitat d’un negoci que aquests també seguien la llei de Benford. És a dir, l’estafador que s’inventa dades numèriques tendeix a fer aparèixer el 5 i el 6 de manera més freqüent del que proposa la llei, un 7,9% i un 6,7% respectivament. La Hisenda dels EUA ha detectat falsificacions en comptabilitats a partir de testos basats en aquesta llei. Per exemple va determinar que si en una comptabilitat els números que comencen per 3 representen el 40% enlloc del 12,55% que proposa Benford hi ha motius per ser investigada. A la pàgina web de Nigrini www.nigrini.com i al seu llibre  «Benford’s Law. Applications for Forensic Accounting, Auditing and Fraud Detection» es poden trobar molts casos de com s’ha usat aquesta llei en aquest aspecte, a vegades estudiant casos mediàtics com els dels Lehman Brothers o el de Bernard Madoff. 

Codis secrets

La llei de Benford també estudia la distribució de la segona xifra, de la tercera i totes les següents en un nombre amb resultats sorprenents: la probabilitat que hi hagi un 0 després d’un 1 és del 13,7% però que hi hagi un 0 després d’un 9 és del 10,5%. Podríem endevinar codis secrets amb aquest llei?

(Article publicat al Lectura el 23 de maig de 2021)