divendres, de gener 04, 2013

Una visió diferent del 2013

Ja tenim el 2013 entre nosaltres (o nosaltres estem enmig del 2013) i tothom quan parla del 2013 comença a parlar de sous, preus, feina, economia.... 

Jo el 2013 me'l vull mirar d'una altra manera (comenci's a preocupar). Pensin que el 2013 és el primer any sense dígits repetits des del 1987. Què me'n diu? Quanta gent ha nascut sense conèixer un any sense dígits repetits? Som afortunats! I a més està format per una permutació del 4 primers dígits [0,1,2,3] cosa que no passava des del 1320. I vostè sense saber-ho...

Per Twitter va córrer (no gaire per sort) que 2013 és un nombre primer. Ni cas, no sé com algú pot inventar-se tals tonteries i després, encara pitjor, que algú les escampi. 2013=3*11*61.  L'últim any primer fou el 2011 i el proper serà el 2017. Si que és un nombre primer el nombre 3^2+11^2+61^2=3851. Fixi's que 2013 és producte de 3 primers... però 2014 i 2015 també ho són. Això no passava des de 1946, 1947 i 1948. I no tornarà a passar fins el 2035, 2036 i 2037.

Tots tenim clar que el 2013 serà un any catastròfic, matemàticament podria ser satànic i tot:

                                    2013=6+6+6+6+(66+6*6)*6*(6+66+6)/(6+6+6+6)


Però si això li fa una mica de por pot construir el 2013 com:

                                    2013=11+(11+11)*(1+1+11)*(1+1+1+1+1+1+1)   

                                    2013=(3+3)*(3+333)-3

                                    2013=(7+7+7)*(7+77+7+7)-(7+7*7)+77/7

                                            2013=(9+9+9+9+9)*(9+9+9+9+9)-(9+99)/9

I si li agrada més barrejar les coses:

                                    2013=12*(2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+99)+9

                                    2013=(9+9+8+8)+(77+6+6+5+5)*(4+4+3+3+2+2+1+1)-1


                                    2013=11+(1+1+22)*33/(4+4)*(5+5+6+6)-(7+7+8)*8

                                    2013=-1+(1+1+2+23)*(34+4+5+5+6+6+7+7)+(8+8)

També li pot portar idees transcendents:

                                     2013=(3+1)*(4+1+5)*9/2*(6+5)+(3+5+8+9+8)    (p)
                                     2013=2+7+1+8+(2+8+1+8+2+84)*(5+9+0+5)    (e)
                                     2013=1*(6+1+8+0+3+39+8+8)*(7+4+9+8)-(9+4+8+4+8)+2+0  (j)


2013 és el 39è terme de la successió formada pels nombres els quals, n, n+1 i n+2 tenen el mateix nombre de divisors.

També és l'11è terme de la successió de terme general 1+(144+(50+(35+(10+n)*n)*n)*n)*n/120. No és pensi que és una successió qualsevol aquesta, no. És la successió dels coeficients del polinomi obtingut en realitzar el producte dels polinomis de (1+3x+6x^2+10x^3+...)*(1+3x^2+6x^3+10x^4+...). Ara bé, no sé pas si mai tindrà la necessitat de realitzar aquesta operació. És el 21è terme de la successió (9/2)*n^2-(15/2)*n que dóna la llista de coeficients de (5-2x)*(1-x^3)/(1-x)^4. I el 31è terme de 2*n^2+11n+12, successió que, segons Milan Janjic es fa servir per trobar el nombre de subconjunts amb unes determinades característiques que ara no em vénen de gust explicar tampoc. No crec que li interessin gaire per això.

El 2013 justament amb el 2557 formen un parell de Wallis. Aquestos parells compleixen que sigma(x^2)=sigma(y^2) on sigma(n) és la funció divisor. Aquesta funció es defineix com la suma de les k primeres potències dels divisors naturals de n, on n és un enter. En resum,
  sigma_k(n)=sum_(d|n)d^k.
Tot això ve d'un problema proposat per Pierre de Fermat (que és conegut per donar molts problemes) l'any 1657 i que és conegut com el problema dels primers de Fermat.

També 2013 és un nombre 2-Smith (un nom ben comercial, no creu? No li agradaria ser un 2-Smith?). I què és un nombre 2-Smith? Li intentaré explicar amb l'exemple del 2013. primer sumem les xifres del 2013: 2+0+1+3=6; els seus factors primers tal i com hem vist abans són 3, 11 i 61 i si sumem 3+1+1+6+1=12 que és el doble de la suma dels dígits del nombre. Aquest nombres són els nombres de 2-Smith.

Si escrivim el 2013 en base 2 (11111011101), en base 3 (2202120) i en base 5 (31023) i fem la suma dels dígits en cadascuna d'aquestes bases dóna el mateix resultat.

I també té propietats relacionades amb els nombres de Carmichael, amb nombres de Mersenne associats, quadrats perfectes en base 6...

No conto pas que li serveixi de res tot això que li he dit. Quan s'acabi l'any ja tindrà la seua pròpia idea del que és el 2013... que, per cert, és l'Any Internacional de l'Estadística (http://www.statistics2013.org/)

2 comentaris:

XeXu ha dit...

Les primeres dades m'han semblat molt curioses, això dels dígits repetits i les permutacions. Però a partir d'aquí, per mi és com un forat negre. I mira que m'hi esforço, eh...

Francesc ha dit...

Mai m'hauria imaginat que el número 2013 donés per tant. Admirable.