dimarts, de setembre 03, 2019

8/2(2+2)

De tant en tant es fan virals alguns dibuixos de pastissos, floretes o sabates amb signes d'operacions entremig i igualades a algun número, de tal manera que qui rep el repte ha de trobar el valor numèric del pastís, de la sabata, de la flor o del dibuix que sigui. I tothom es posa a comentar els resultats que li han donat, cosa que trobo molt curiosa perquè si enlloc de sabates, pastissos i floretes hi haguessin les incògnites X, Y i Z a les imatges a fe de déu que el repte no tindria pas tant d'èxit. I això que essencialment és el mateix, no deixa de ser àlgebra. Però vaja, posar una X enlloc del dibuix d'una sabata deu espantar més.

Durant aquest agost s'ha fet viral una operació matemàtica que “segons com es faci” el resultat dona 1 o 16, però aquest “segons com es faci” en matemàtiques no pot passar. El resultat d'una operació és el que és i no hi ha marge d'interpretació ni de confusió possible a l'hora de fer l'operació. És a dir, l'operació o està ben feta o està mal feta... que per alguna cosa Alfred Whitehead i Bertrand Russell van dedicar més de 300 pàgines del volum III del Principia Mathematica a demostrar que 1 + 1 = 2.

A l'hora de fer càlculs cal tenir ben en compte quina és la jerarquia de les operacions. Primer cal fer les operacions de dins dels parèntesis, després les potències en cas que n'hi hagi, a continuació multiplicacions i divisions i per últim les sumes i les restes. I quan dic “multiplicacions i divisions” no vull dir que les multiplicacions tinguin prioritat sobre les divisions ni a l'inrevés, igual que amb les sumes i les restes. Quan hi ha operacions del mateix nivell de jerarquia s'han de fer d'esquerra a dreta tal i com es troben en l'expressió a operar. Tanmateix tinc el dubte de si en altres cultures on es llegeix de dreta a esquerra fan servir aquest mateix criteri.

L'operació viral en qüestió és 8/2(2+2). Segons el que acabo d'explicar primer cal fer l'operació entre parèntesis: 2 + 2 = 4. Per tant ara ens queda 8/2·4 -recordeu que si davant d'un parèntesi no hi ha cap signe aritmètic s'entén que és una multiplicació-. Veiem ara que hi ha una multiplicació i una divisió, operacions de la mateixa jerarquia, per tant operem d'esquerra a dreta. Primer fem la divisió 8/2 = 4 i per últim el producte 4 · 4 = 16. Per tant el resultat vàlid és 16. A aquells que l'operació els dona 1 és perquè primer fan el producte 2 · 4 = 8 i després la divisió 8/8 = 1, però això no és correcte. Per tant l'excusa del “segons com es faci” no serveix perquè les operacions aritmètiques, en matemàtiques, només es fan d'una manera.
















En la imatge es pot veure com la calculadora de Google i un altre model realitzen l’operació tal com toca. Sí és cert que en la segona calculadora si no es posa el signe de multiplicar la calculadora hi afegeix uns parèntesis a l’expressió (2×(2+2)) cosa que sí faria variar el resultat perquè variaria l’ordre de les operacions. 

(Article publicat al Lectura l'1/9/2019)

dijous, d’agost 08, 2019

Jocs

«On s'acaba un joc i on comença la matemàtica seriosa? Per a molts, la matemàtica, mortalment avorrida, no té res a veure amb el joc. En canvi, per a la la majoria dels matemàtics, mai no deixa de ser un joc, encara que, a més, pugui ser moltes altres coses.» Aquesta frase de l'eminent matemàtic espanyol Miguel de Guzmán (1936-2004) descriu perfectament com l'ús de la matemàtica és el mateix a l'hora de resoldre un enigma, cercar una bona estratègia quan juguem a la botifarra o afrontar un complicat problema matemàtic.

I és que a partir d'intentar estudiar estratègies en jocs simples va sorgir el que en matemàtiques s'anomena la teoria de jocs, una branca que es dedica a estudiar els jocs però que també té aplicacions a l'hora de prendre decisions comercials en empreses o en relacions internacionals entre països.

I com avui és un diumenge d'agost en què pot estar llegint aquest article en un moment relaxant post-arròs de dinar, els proposo alguns enigmes matemàtics clàssics.

  1. En el llibre Quesiti et inventioni diverse (1546) de Tartaglia es proposa el següent problema: “Un home té tres faisans i vol repartir-los entre dos pares i dos fills de manera que cadascun d'ells rebi un faisà. Com ho farà?” També és d'aquest llibre aquest clàssic “Un home té 17 cavalls i els deixa en herència als seus tres fills en les proporcions ½, ⅓ i 1/9. Com repartirà els cavalls?”
  2. Uns altres problemes històrics introduïts per Nicolas Chuquet a Triparty en la science des nombres (1484) són els de transvasaments, com per exemple: “Tenim dos gerres, una de 3 pintes i una altra de 5. Com ho podem fer per deixar exactament 4 pintes dins de la gerra més gran?”
  3. Henry Dudeney a Amusements in Mathematics (1917) va deixar una gran col·lecció de criptogrames com aquest: SEND + MORE = MONEY. El que cal fer aquí és substituir cada lletra per una xifra de tal manera que la suma sigui correcta.
A la ciutat de Köningsberg, actualment Kaliningrad, hi havia l'afició de passejar pels ponts sobre el riu i un dels entreteniments dels seus habitants era comprovar si es podia fer un passeig per tots els ponts passant-hi només un cop. Leonhard Euler va trobar la solució l'any 1759. La resolució d'aquest problema fou l'origen del que s'anomena teoria de grafs. Us atreviu a trobar aquest camí?
(Article publicat al Lectura el 4 d'agost de 2019)




dilluns, de juliol 22, 2019

Johnny Clegg & Savuka - Cruel, crazy and beautiful world

El cantant, compositor i guitarrista Johnny Clegg va néixer a Rochdale (Anglaterra) però amb pocs anys se'n va a viure primer a Zimbàbue i després a Sudàfrica on es familiaritza amb la cultura i la música zulu. Amb només 14 anys ja ha viscut tots aquests viatges, aprèn a tocar la guitarra i coneix a Sipho Mchunu, un músic de carrer amb qui estableix amistat. Clegg i Sipho comencen a tocar junts i a fer petits concerts en clubs i festes privades, les seues cançons barrejaven el zulu i l'anglès i una musicalitat d'ambdues cultures. Això que avui en dia en diem mestissatge o fusió de cultures. A inicis dels 70 no hi havia tan vocabulari encara.

Van enregistrar el discos "Universal men" (1979) i "African litany" (1981) amb el nom de Juluka que vol dir dolç en zulu. El primer èxit els arribà amb un primer single "Woza friday" (1982) del disc "Ubuhle Bemvelo" (1982) que vol dir bellesa de la natura. Un altre single que fou un primer èxit a Sudàfrica arribant al número 1 de les llistes és "Africa Kukhala Ambangcwele" i que poc després fou prohibit per les autoritats sudafricanes. Amb "Scaterlings" (1982) es donen a conèixer al Regne Unit i als Estats Units arribant a entrar, tot i que de forma discreta, en llistes. Aquest fet els permet realitzar les primeres gires internacionals.


El 1986, després de mitja dotzena més de discos Sipho deixa la música i Clegg es veu obligat a formar un nou grup donant lloc a la creació de Johnny Clegg & Savuka, que vol dir despertar en zulu. Amb aquest nom comencen una nova etapa fitxant per la multinacional EMI que els impulsa, ara sí, a un èxit internacional rotund. Amb el disc "Third world child" (1987) les portes de les llistes ja se'ls hi obren de bat a bat, sobretot amb el single "Asimbonanga", un homenatge a Mandela, empresonat en aquella data, que també és prohibida a Sudàfrica però que fou un èxit per tot el món. La cançó es convertí en un himne anti apartheid i fou adoptada com a himne pel Front Democràtic de Sudàfrica. També és d'aquest disc "Scatterlings of Africa", que formava part de la banda sonora de l'oscaritzada peli Rain man. El disc és una barreja de sons ètnics amb rock d'estil anglosaxó.

El següent disc "Shadowman" (1988) continua aconseguint un nivell important de vendes, amb lletres de fort impacte polític, cançons en anglès i melodies en zulu. Michael Jackson va haver de suspendre un concert a Lió perquè Johnny Clegg li havia pres els espectadors en un altre concert el mateix dia. L'any 1989 publiquen "Cruel, crazy and beautiful world", personalment el millor disc, amb una divertida cançó dedicada al fill de Clegg que dona títol al disc. També hi trobem el single "Dela" -que anys més tard apareixeria a la pel·lícula George de la jungla- i la cançó "One (Hu)'Man One Vote" dedicada a David Webster, un activista anti apartheid assassinat poques setmanes abans de la gravació del disc. 

El 4 de maig de 1992, David Zulu, percussionista de Savuka és assassinat mentre anava cap a casa seva. Això va provocar que "Heat, dust and dreams" (1993) fos l'últim disc de Johnny Clegg & Savuka incloent-hi el tema "The crossing (Osiyeza)" dedicat a David.

A partir d'aquí Johnny Clegg, conegut amb el sobrenom de zulu blanc però que ell ho detestava va continuar gravant discs en solitari però sense l'èxit comercial anterior i es centrà sobretot en les seues classes universitàries. Des del 2017 que Johnny Clegg tenia diagnosticat un càncer que li havia anat empitjorant fins que ara li ha provocat la seua mort a Johannesburg.

dijous, de juliol 18, 2019

El·lipses

La circumferència, des de l'antiguitat, sempre ha dut l'aureola de figura geomètrica perfecta per l'harmonia aquesta que tots els punts que la formen estan a la mateixa distància d'un altre punt anomenat centre. Podem visualitzar circumferències en rodes, politges, engranatges, monedes, en tallar una síndria o una taronja pel mig, en mirar un vas de tub des de la part superior o quan tallem una botifarra amb un ganivet mitjançant un tall perpendicular a la taula.

Però les botifarres, els xoriços i les secallones no es tallen perpendicularment a la taula sinó que a les cansaladeries fan els talls de tal manera que el ganivet no és perpendicular sinó que forma un determinat angle d'inclinació diferent de 90º respecte la taula. Aleshores el tall de botifarra resultant ja no té forma circular sinó el·líptica. També, si inclinem el nostre vas de tub amb un líquid a l'interior i l'observem des de dalt comprovarem que el líquid ja no forma un cercle sinó que serà una el·lipse.

Una el·lipse es pot construir fàcilment amb una corda no tibada lligada a dos pals pels seus extrems. Amb un llapis, fent tibar la corda, podem anar dibuixant una el·lipse ja que la suma de les distàncies de qualsevol punt de l'el·lipse als dos pals –la longitud de la corda- es manté constant. Els punts on estan clavats aquests pals s'anomenen els focus de l'el·lipse. L'el·lipse té una curiosa propietat: qualsevol raig que passa per un dels focus es reflecteix en l'altre focus. Aquesta propietat es fa servir en la construcció de túnels, galeries, auditoris…

La seua forma s'ha utilitzat des de l'antiguitat com en l'amfiteatre de Pompeia i, curiosament, també és una forma que la podríem considerar de bellesa “perfecta”. Aprofitant que molts deveu ser en època de vacances podeu visitar la belleses el·líptica de la plaça de Sant Pere del Vaticà, una perfecta el·lipse amb dues fonts situades en els seus focus. I un article de l'enginyer Frederic Macau l'any 1964 va posar de moda el “teorema de l'Empordà” per remarcar la bellesa de la badia de Roses gràcies a dues formes el·líptiques que s'hi poden observar.



Les dues el·lipses de la badia de Roses, l'el·lipse de la plaça de Sant Pere amb les fonts de Bernini als seus focus i la rotonda del cementiri de Lleida que pot semblar el·líptica però que no ho és si ens fixem en les puntes. Si fos el·líptica potser seria més “geomètricament bella”.


(Article publicat al Lectura el 7/7/19)

dijous, de juliol 04, 2019

Peter Tork - Higher and higher

El març de 2012 escrivia aquest article sobre The Monkees en motiu de la mort de Davy Jones. Ara el recupero en motiu de la mort de Peter Tork, baix, teclista i membre original de la banda que ens ha deixat als 77 anys a conseqüència d'un càncer en les glàndules salivals.

L'any 2016, Nesmith, Dolenz i Tork es van reunir per enregistrar l'aclamat disc "Good times!", en el qual The Kinks cantaven temes de Noel Gallagher i Paul Weller "Birth of an accidental hipster", Harry Nilsson "Good times", Neil Diamond "Love to love" o Carole King "Wasn't born to follow", aquesta última cantada pel mateix Tork.

Els deixo la cançó "Higher and higher" (1994) inclosa en el disc "Stranger things have happened", l'únic disc gravat en solitari per Peter Tork i on el músic toca el banjo.

Koldo Aguirre

Koldo Aguirre dibuixat
per l'Ermengol
El juny de 1988 Jordi Gonzalvo deixava la Unió Esportiva Lleida després d'una temporada extraordinària a 2A en la qual es freguen les posicions de promoció d'ascens. L'equip va quedar sisè a 3 punts de l'Oviedo, que va acabar pujant a 1a. Gonzalvo, entrenador molt recordat a Lleida entre d'altres motius per haver enregistrat el seu himne, se'n va anar al Figueres i Koldo Aguirre era l'entrenador escollit per Mario Duran. Aguirre s'havia format al futbol base de l'Athletic i tenia l'experiència amb el mateix Athletic, València, Mallorca i l'Hércules a 1a divisió. L'excel·lent bloc de la plantilla del Lleida la temporada anterior -Verdejo, Rubio, David, Lecumberri, Luengo, Palau, Azcona...- es mantenia només amb les baixes destacades de Glaría -tot i les pintades que van aparèixer al Camp d'Esports demanant que es quedés- i Planelles -castigat pel seu flirteig amb el Figueres quan encara no havia acabat la temporada-, per tant Koldo Aguirre disposava d'una bona continuïtat de bloc per superar la pressió de quedar més amunt del sisè lloc de la temporada anterior.

Koldo Aguiire en una foto de
El Mundo Deportivo
L'arribada de Koldo Aguirre no va estar exempta de polèmica, el directiu de la UE Lleida Manolo Cubero va dimitir per tal com el president Mario Duran va portar la gestió del seu fitxatge sense comunicar-ho a la resta de la junta. També Joan Ramon Puig-Solsona es confirmaria com a segon entrenador del primer equip i el seu lloc a l'equip amateur l'ocuparia Josep Maria Mora. Els primers reforços van ser Gregory (Burgos), Jabo (Bilbao) i Pascual Sanz i Tejero (Zaragoza).

Un dels contratemps en què es trobà Koldo en la preparació de la temporada fou el canvi de la gespa del Camp d'Esports que l'impedí fer entrenaments i amistosos al camp i van haver de signar un acord amb el Sudanell per a entrenar-se al seu camp. Aquest acord va ser trencat unilateralment per Mario Duran i sense el vist-i-plau de l'entrenador -Aguirre va criticar públicament la decisió- obligant-los finalment a anar a entrenar al camp de l'Alpicat. El motiu que donà Duran foren les pretensions econòmiques del Sudanell.

Aguirre a la llotja del Camp d'Esports
Una de les decisions del nou entrenador va ser el canvi de la localitat de l'stage, després d'haver anat a la Val d'Aran amb Jordi Gonzalvo, ara s'anava a Rialp. Curiosament aquella temporada la UE Figueres de Gonzalvo i el CFJ Mollerussa de Carles Viladegut, que debutava a 2A, anaven a la Val d'Aran a fer l'stage. En aquell stage va estar a prova el jugador del Nacional de Montevideo Julio César Lancieri... que no sé perquè no es va quedar. Els mètodes d'entrenament de Koldo Aguirre eren distesos i tothom estava molt content amb ell. Fa uns mesos el massatgista Miquel Genís afirmava en una entrevista a la revista Lo Lleida que "Com a persona em quedo amb Koldo Aguirre. Va durar molt poc i com a entrenador li van sortir les coses molt malament, va tenir mala sort. El Koldo anava a la pissarra, feia la tàctica i els deia als jugadors: sou professionals i al camp ja sabeu què heu de fer. I això el va sentenciar. Amb el Koldo Aguirre me tocava fer de linier en alguns amistosos, amb el Puig-Solsona d’àrbitre." 

Un onze titular del Lleida d'aquella temporada amb la
samarreta de Tatra Liaz: Amb Verdejo, Azcona, Luengo,
Maza, Rubio, Palau, Lecumberri, David, Pascual Sanz...
S'iniciava la temporada que els seguidors recordem per la samarreta i el patrocini de Tatra Liaz, una empresa de camions que participava al París-Dakar i que instal·lava a Lleida la seua central de distribució per a Espanya. I no s'iniciava malament ja que en el partit de debut es guanyava 2-0 al Sestao en el Camp d'Esports amb gols de, com no podia ser d'altra manera, Mariano Azcona. El segon partit tampoc va anar malament empatant a un al Plantío contra el Burgos amb gol de Gregory. Però a partir d'aquí començà una debacle imparable... derrotes contra Eibar, Castilla, Rayo Vallecano, Figueres, Salamanca, las Palmas... fins arribar al mes de desembre on el Lleida, enfonsat en la classificació juntament amb el Mollerussa, perdia a casa contra el CD Castellón i al Colombino contra el Recre. La junta estava nerviosa pels resultats i per la manera de prendre les decisions de Mario Duran: el vicepresident Ramon Vila presentava la dimissió i el delegat Benito Ibars es negava a anar a Huelva en autocar. Finalment el 20 de desembre Koldo Aguirre és cessat, no es menja els torrons, i el dia dels innocents es presenta un bastant desconegut exentrenador de la UE Figueres José Manuel Esnal Mané com a entrenador.

Puig-Solsona i Aguirre en una
foto de Gómez-Vidal.


Puig-Solsona definia Koldo en el seu adéu com “un fuera de serie. Toda la plantílla estaba con él. Los jugadores están muy afectados por su marcha, la moral está baja... "



D'aquella nefasta temporada que tot i el canvi d'entrenador acabà en descens a 2B els aficionats recordem sobretot l'eliminació del Figueres, l'etern rival en aquells anys 80, de la Copa per part del nostre equip. El dijous 8 de desembre i amb 5000 (!!) espectadors al Camp d'Esports el Lleida guanyava 2-1 amb gols de Tejero i Azcona. Aquesta derrota del Figueres suposà la destitució de Gonzalvo com a entrenador empordanès.
Crònica del partit a El Mundo Deportivo
Koldo Aguirre va morir ahir als 80 anys.

divendres, de juny 28, 2019

James Ingram - Ya mo B there

La història de James Ingram és curiosa perquè assolí la fama dins del món de la música abans de ser famós en el món de la música. Sí, ja sé que no s'ha entès res de la frase que acabo de soltar però intentaré explicar-me.

Ingram va néixer a Ohio l'any 1952 amb un veu propícia per a dedicar-se al rythm and blues. Els seus inicis musicals als anys setanta van ser en la banda Revelation Funk. Tot i això, va començar la dècada dels vuitanta a fer col·laboracions al costat d'artistes de la mida de Ray Charles, The Coasters, Quincy Jones, Donna Summer o Patti Austin. Aquestes col·laboracions podien ser de dues maneres diferents: Ingram els cedia la lletra d'alguna de les seues composicions o bé els acompanyava en alguna de les cançons en la veu o el piano. El seu primer número 1 -que no era ben bé seu- en llistes fou el tema "Baby, come to me" (1982) en un duet amb Patti Austin. També amb la cantant novaiorquesa aconsegueix un altre èxit amb "How do you keep the music playing?" (1983).

D'aquesta manera Ingram va donar el salt a la fama i sense ni tan sols gravar un disc l'any 1982 guanyava el Grammy al millor cantant de rythm and blues gràcies, un altre cop, a una col·laboració en un disc que no era seu. Era el primer cop que succeïa en la història dels Grammy i la històrica cançó en qüestió "One hundred ways" amb Ray Charles. També, i al costat de Quincy Jones, composa "P.Y.T. (Pretty young things)", una cançó que es va incloure en el disc més venut de la història del pop: el "Thriller" de Michael Jackson. Anys més tard els tres tornarien a col·laborar amb el projecte "We are the world".

Visto lo visto l'any 1983 Quincy Jones es decideix a enregistrar-li el seu primer disc sota el seu nom "It's your night", on un fotimer de músics de Los Ángeles hi col·laboren: Larry Carlton, Tom Scott, David Paich... Tot i la balada "There's no easy way" el disc no és un èxit precisament, amb la qual cosa ell continua fent allò que se li dona bé, cantar amb altres. James Ingram no complia la màxima aquella del val més sol... i el 1985 torna a guanya un altre Grammy amb un duet, aquest cop al costat de Michael McDonald amb "Yah mo B there". També d'aquesta època és el triplet entre Ingram, Kenny Rogers i Kim Carnes en "What about me?" (1984).

El 1986 torna a intentar-ho en solitari sota la producció de Billy Ocean amb el disc "Never felt so good". Però res. A ell el que li funciona és col·laborar amb altres. I l'any 1988 guanya un altre Grammy amb Linda Ronstad per "Somewhere out there" inclosa en la banda sonora de "Fievel i el nou món".

L'any 1989 torna a provar-ho en solitari amb el disc "It's real". Aquest cop li surt bé la cosa i és amb aquest disc quan descobreixo James Ingram per primer cop gràcies al single "I don’t have the heart” (1990), número 1 mundial i potser l'èxit més rotund de la seua carrera,

Les últimes dècades Ingram ha estat poc actiu, i és que els dos últims discos han estat separats quinze anys en el temps: "Always you" (1993) i "Stand in the light" (2008), encara amb producció de Quincy Jones. I el duet amb Dolly Parton del “The day I fall in love” (1994) com a tema més destacat i que a més li comportà l'Oscar a la Millor cançó original per l'aparició a Beethoven 2.

Ara, als 66 anys i a conseqüència d'un càncer cerebral que feia anys arrossegava ens ha deixat James Ingram


Articles relacionats:
- Natalie Cole.
- Staple Singers.
- The Temptations.
- Ben E King.
- Bobby Womack.
- The Miracles.
- Fontella Bass.
- Booker T.
- Ashford and Simpson.
- Amy Winehouse.

dimecres, de juny 19, 2019

Mitjana i mediana

De tant en tant van sortint informacions i estudis sobre el sou mitjà, l'última que he llegit afirma que “El coste salarial medio en España es de 2.039 € brutos mensuales”. Està molt bé que surti aquesta informació i no poso pas en dubte el càlcul que s'hagi fet, però és una dada que, informativament, és incompleta. Perquè la informació fos més precisa, a part d'indicar el valor de la mitjana seria necessari informar del valor de la mediana per a poder extreure conclusions. I no, mitjana i mediana no és el mateix.

La mitjana d'una sèrie de dades és un paràmetre estadístic ben conegut que es calcula sumant tots els valors i dividint entre el número de dades que tenim. Aquesta mitjana ens dona un valor que ens informa al voltant de quin número estan distribuïdes les dades que tenim. Però si en la nostra mostra hi ha valors molt extrems aquesta mitjana no “representa” bé la mostra i és necessari complementar la informació mitjançant la mediana. La mediana és el valor central d'una sèrie de dades ordenades de més petita a més gran. Si hi ha un nombre imparell de dades la mediana és el número del mig i si hi ha un nombre parell de dades es calcula fent la mitjana dels dos valors centrals.

Vegem-ho amb un exemple: suposem que cinc persones tenen uns sous de 2 €, 4 €, 6 €, 8 € i 10 € (per simplificar el càlcul). Aleshores el sou mitjà d'aquestes cinc persones és (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6. Evidentment aquest sou mitjà de 6 € no el cobra tothom de la mostra, però ens serveix de referència. En aquesta mateixa mostra la mediana, el valor central, també és 6. Per tant en aquest cas coincideixen la mediana i la mitjana perquè hi ha una “simetria” per sota i per sobre de la mitjana.

Ara suposem que el que cobra 10 passa a cobrar 50. El sou mitjà passa a ser (2 + 4 + 6 + 8 + 50) / 5 = 14 €. Però aquest valor ens dona una idea distorsionada dels sous perquè hi ha molts sous per sota de la mitjana i només un per sobre de la mitjana. En canvi la mediana de la mostra continua sent 6. El salari alt fa que la mitjana augmenti però no modifica la mediana. És a dir, la mitjana es veu afectada pels valors “extremadament alts o baixos” d'una mostra. Per tant, quan es parla de sous és interessant conèixer la mitjana i també la mediana ja que segons l'INE hi ha casos de sous extremadament alts si els comparem amb els de la majoria de treballadors.

L'any 2011 l'aleshores ministre Luis de Guindos va afirmar que apujaria l'IBI «a la meitat dels habitatges, és a dir, al 50% que superin la mitjana del valor cadastral de cada municipi»... com hem vist, el 50% dels pisos estan per sobre (o per sota) de la mediana, no de la mitjana.


En aquest gràfic de l’enquesta anual d’estructura salarial de l’any 2016 feta per l’INE es veu com la distribució de sous està desplaçada cap a la dreta amb sous molt alts respecte la majoria de sous. Això fa que el sou mitjà surti més alt que la mediana. En el gràfic també es mostra el que estadísticament s’anomena moda i que correspon al sou més freqüent.


Gràfic extret de https://www.ine.es/prensa/ees_2016.pdf
(Article publicat al suplement Lectura el 9/6/2019)

dissabte, de maig 18, 2019

Dividir entre 1,21

No fa gaires dies, en el transcurs d'una informació televisiva sobre el Tax Free –part impositiva sobre el preu d'un producte– es deia que si en un producte de 1.000 € se li treu el 21% de l'IVA queda un preu net sense impostos de 790 €. Aquest càlcul està fet a partir de descomptar el 21% als 1.000 €, però això no és correcte. Si a una determinada quantitat se li afegeix el 21% s'obté una nova quantitat, però si a aquesta nova quantitat se li descompta el 21% no obtenim pas la quantitat inicial, ja que el càlcul del 21% es fa sobre quantitats diferents. Ara ho veurem amb un exemple.

Abans, però, els comento una manera molt senzilla de calcular augments i disminucions percentuals. Si p% és un percentatge d'augment o de disminució, per calcular el preu final només cal multiplicar el preu inicial per (1 + p/100) en cas d'un augment o per (1 - p/100) en cas d'una rebaixa.

Suposem que un determinat producte val 100 € sense IVA i té un tipus impositiu del 21%. Segons el que he comentat en el paràgraf anterior, per saber el preu amb IVA només ens cal multiplicar 100 per (1 + 21/100) = 1,21 i per tant el preu final serà de 100 x 1,21 = 121 €. I si ara al nostre producte de 121 € li apliquem un descompte del 21%, (1 - 21/100) = 0,79 el preu que queda és 121 × 0,79 = 95,59 €. Oh! No ens dona els 100 € inicials! I és clar que no, el primer 21% el fem sobre una quantitat de 100 i l'altre 21% sobre una quantitat de 121, amb la qual cosa el valor del percentatge no és el mateix. I aquesta és, llastimosament, una errada massa estesa en comerços, mitjans i polítics fins i tot.

Però aleshores… com ho hem de fer per saber el preu d'un producte abans d'haver-li aplicat l'IVA? És molt senzill, només cal dividir el preu del producte entre 1,21. Anem a la notícia inicial de l'article. Si el preu amb IVA del producte és de 1.000 €, el preu sense IVA és de 1.000 / 1,21 = 826,45 € i no pas els 790 € que s'hi diuen. Tingueu-ho en compte en les ofertes dels famosos dies sense IVA que fan en molts comerços.

COMPTE AMB LES REBAIXES
També cal vigilar en les segones rebaixes, si ens fan un descompte del 20% i després un del 50% no és el mateix que rebaixar un 70%, sinó que seria equivalent a una rebaixa del 60%. O que un augment del 25% i un augment del 25% no és el mateix que un augment del 50%, sinó que realment és del 56,25%. Els percentatges successius d'augments o disminucions no es poden sumar ni restar.

(Article publicat a la revista Lectura el 12/5/2019)

dissabte, d’abril 27, 2019

Best-sellers matemàtics (II)

Ara fa un any publicava en aquesta mateixa secció, coincidint amb la diada de Sant Jordi, un recull d'uns quants llibres que considerava fonamentals en la història de les matemàtiques, aquell article va abastar des dels Elements d'Euclides fins a La Geometria de Descartes. Coincidint un altre cop amb la proximitat d'aquesta data enganxo aquest segon article amb bibliografia imprescindible matemàtica a partir del segle XVI.

Si l'aparició de Descartes va suposar un gir en la manera d'estudiar la geometria, l'In artem analyticem isagoge (1591) de François Viète va revolucionar l'àlgebra. Aquest matemàtic francès va generalitzar la necessitat d'introduir símbols en les matemàtiques i fer que la resolució d'equacions i de problemes de trigonometria sigui més còmoda a l'hora treballar. La notació algebraica que fem servir avui es basa, sobretot, en les propostes de Viète en aquest llibre.

John Wallis, matemàtic que també va redactar una gramàtica anglesa, va escriure la influent obra Arithmetica infinitorum (1656). En aquest llibre deixà escrita una meravellosa fórmula per calcular el nombre π i generalitzava l'ús del símbol ∞ per l'infinit, que ell mateix havia proposat en un llibre anterior. L'argument per fer servir aquest símbol és que és una corba que es pot traçar infinites vegades. Wallis, que dormia poc i malament, es passava les nits practicant càlcul mental, una nit calculà mentalment l'arrel quadrada d'un nombre amb 53 dígits.

La transcendència del Philosophiae naturalis principia mathematica (1687) d'Isaac Newton sobrepassa la matemàtica i és una referència històrica a nivell científic. Els Principia –tal i com se'ls coneix de forma abreujada– estan escrits en llatí i dividit en tres parts. Tot i que, bàsicament, Newton es dedica a demostrar les lleis de la física que modelitzen el funcionament de l'univers, en l'obra apareix el seu mètode del càlcul de fluxions, el que avui dia coneixem amb el nom de derivades. Gràcies a aquests mètodes podem calcular tangents a corbes o valors màxims i mínims de funcions. Newton era reticent a publicar els seus descobriments per por que li copiessin, però, sortosament, el seu amic Edmond Halley el va persuadir amb convenciment. En canvi, el seu principal competidor a l'hora d'estudiar el càlcul diferencial, Gottfried Leibniz, publicava en articles a la revista Acta Eruditorium, una forma més immediata i innovadora de publicar, amb la qual cosa les idees de Leibniz arribaven abans que les de Newton.

De Leonhard Euler (personalment) el més gran matemàtic de tots els temps, és gairebé impossible destacar una sola referència bibliogràfica. Foren tants els seus resultats que, des de l'any 1911, s'intenten recopilar en l'Opera omnia i que avui encara no s'ha enllestit. Segurament molts destacarien Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736), un llibre en el qual usava geometria diferencial per resoldre problemes de moviment, però a mi m'agrada més Introductio in Analysis Infinitorum (1748), en què es demostra la fórmula més meravellosa de les matemàtiques, la que relaciona els nombres 0, 1, i, e i π.


Aquesta és la coneguda identitat d'Euler, hi figuren els que es consideren els nombres fonamentals en les matemàtiques: el 0, l'1, el nombre i que és la unitat imaginària complexa -l'arrel quadrada de -1-, el nombre e que aproximadament és 2,71828… i té moltíssimes aplicacions en biologia, economia o física nuclear i el conegut nombre π=3,14159… molt usat en geometria.

(Article publicat en la revista Lectura el 14/4/2019)