dijous, de març 22, 2018

El belga Catalan

Suposem que tenim una seqüència de dos lletres, per exemple «ab». De quantes maneres podem posar una parella de parèntesis de tal manera que quedin dos lletres dins? Evidentment només d’una forma (ab). I si la seqüència té tres lletres i volem posar dos parelles de parèntesis de tal manera que dos lletres quedin juntes? Aleshores podem posar ((ab)c) o (a(bc)), dos formes diferents. I amb quatre lletres com «abcd» i tres parelles de parèntesis? Podem escriure ((ab)(cd)), (((ab)c)d), (a(b(cd))), ((a(bc))d) i (a((bc)d)) apareixent 5 combinacions diferents. Així, si juguem al joc aquest de les n lletres i les n-1 parelles de parèntesis obtindrem 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786.... combinacions diferents.

Aquests numerets són coneguts amb el bonic nom de nombres de Catalan en honor al matemàtic belga Eugène Charles Catalan (1814-1894). Tot i dur aquest nom, Leonhard Euler i Andreas von Segner ja havien treballat amb ells un segle abans, per això també es van anomenar nombres d’Euler-Segner. Aquests nombres apareixen en molts altres problemes de combinatòria, com per exemple en calcular el nombre de maneres en què podem dividir un polígon regular mitjançant les seues diagonals per a formar triangles.

Catalan, que es va dedicar sobretot a la geometria, també dona nom a una família de poliedres -cossos geomètrics tridimensionals-. Aquests sòlids s’obtenen a partir d’unir els punts centrals de les cares d’uns altres políedres anomenats d’Arquímedes. Hi ha 13 poliedres de Catalan i estan formats per cares iguals tot i que no són polígons regulars. Els noms són força curiosos: els més petits són el triaquistetraedre amb 12 cares formades per triangles isòsceles i el rombododecaedre format per 12 rombes. El tetraquishexaedre, que té 24 cares triangulars i el triacontaedre ròmbic, de 30 cares, s’utilitzen per a fabricar daus per a jocs.

Catalan també ha donat nom a una constant que apareix en càlcul integral de valor aproximat 0.915965594… i a una conjectura que afirmava que no existeixen dos nombres consecutius, a part del 8 que és 2 al cub i del 9 que és 3 al quadrat, que siguin resultats d’una potència d’exponent natural. Conjectura que l’any 2002 deixà de ser conjectura perquè el matemàtic Preda Mihăilescu la va demostrar.

La denominació anglesa Catalan numbers i Catalan polyhedra d’aquests objectes matemàtics de ben segur ha degut donar força anècdotes. S’explica que Enric Masó, qui fou alcalde de Barcelona, afirmà que «és un orgull que hi hagi nombres i poliedres que formen part de la cultura catalana».

(Article publicat al Lectura del diumenge 18 de març de 2018)