Periòdics curiosos

Una fracció és una expressió de la forma a/b on a i b són nombres enters (no decimals). El nombre a s’anomena numerador i el nombre b, que no pot ser zero, és el denominador. Conceptualment una fracció representa una part d’un total. Per exemple la fracció ⅝ (llegida cinc vuitens) representa 5 parts d’un total de 8. Imagineu una truita de patates que l´hem tallat en 8 trossos i ens n’hem menjat 5 d’aquests trossos, aleshores direm que ens hem menjat ⅝ de truita. De fet la paraula fracció prové del llatí fractus (trencat) ja que per tenir fraccions partim -trenquem- coses. Quan una fracció representa un nombre menor que 1 s’anomena fracció pròpia. Les fraccions les tenim contínuament presents a la nostra vida: una barra de quart (¼), mig litre (½), tres quarts d’hora (¾), les ampolles de vi de ⅜, el 21/100 d’IVA o el ⅗ de triples de Corey Walden en un partit del Força Lleida. De fet els egipcis ja van ser uns prodigis treballant amb fraccions de numerador 1. Una famosa broma matemàtica diu que 4/3 de les persones no entenen les fraccions…

Així que una fracció no deixa de ser una divisió del numerador entre el denominador. El resultat d’aquesta divisió pot ser un nombre enter 10/5=2; un nombre decimal exacte (amb finits decimals) 3/10=0,3 o un nombre decimal periòdic en el qual els dígits es van repetint infinitament: ⅓=0,3333333… o 22/7=3,142857 142857 142857… El conjunt de tots aquests nombres són coneguts com a nombres racionals.

Hi ha alguns patrons decimals d’aquestes fraccions que són curiosos. Els denominadors múltiples de 9 donen molt joc: 10/81=0,12345678901234567890…; 100/891=0,112233445566778899001122…;1000/8991=0,111 222 333 444 555 666 777 888 999 000… i ho podem continuar anant multiplicant per 10 el numerador i afegint un 9 entremig al denominador. Un de curiós és 1/81=0,012 345 679…on veiem que hi falta el 8.

El següent període consta de 198 dígits decimals -a veure si li veieu la gràcia-

100/9801=0,010203040506070809 10111213141516171819 20212223242526272829 30313233343536373839 40414243444546474849 50515253545556575859 60616263646566676869 70717273747576777879 80818283848586878889 90919293949596979900… i curiosament falta el 98.

Per últim menciono el cas de 1/998 que resulta un nombre amb un període de 498 dígits en el qual van apareixent les potències de dos en les primeres posicions:   0.001 002 004 008 016 032 064 128 256 513… Animo als lectors i lectores a continuar jugant buscant patrons periòdics amb la calculadora o amb el software de Wolframalpha

La seqüència de Feynman

El físic Richard Feynman durant una estona d’avorriment a Los Lamaos i jugant amb la seua calculadora va descobrir aquesta sèrie decimal. Fixeu-vos que és una sèrie que repeteix les parelles de nombres 0, 1, 2, 3, 4 i 5 separades pels dígits 4, 5, 6, 7, 8 i 9. En el seu llibre Surely You're Joking, Mr. Feynman! explica que va enviar una carta amb aquesta curiosa troballa i li van retornar perquè l’encarregat de revisar la correspondència de Los Alamos es van pensar que era un missatge secret.

(Article publicat al Lectura el 13 d'abril de 2025)