diumenge, de desembre 04, 2016

El teorema de la galeria d’art.

Segurament vostè, que deu ser una persona molt viatjada, haurà comprovat visitant grans museus i galeries d’art que hi ha un senyors i senyores vigilant en vàries sales per impedir que es faci una selfie amb la Gioconda o retrati amb el mòbil el trebol de la Capella Sixtina del Vaticà. Però quants vigilants calen per poder vigilar una sala d’una galeria d’art?
Suposem primer que la vigilància d’aquestes sales la duen a terme uns vigilants que estan situats en un racó fix sense poder moure’s però amb una visió de 360º i suposem també que poden veure a qualsevol distància sempre i quan no hi hagi una paret pel mig, és clar.
I ara també suposarem que les galeries d’art o museus tenen forma de polígon, és a dir, les seues parets formen una regió tancada. Per exemple, pot imaginar-se que la sala que cal vigilar té forma de quadrat, d’hexàgon o d’estrella. Avui en dia ja sap que pot imaginar-se les formes més estrambòtiques possibles gràcies als dissenys que ens ofereix el món de l’arquitectura.
Agafi paper i un llapis que l’animo a què vagi fent dibuixets i vagi comprovant quants vigilants calen per guardar les obres d’art d’una sala. Si la sala té forma triangular, per estrany que sigui el triangle, només caldrà un vigilant. Si la sala és un quadrilàter, és a dir, un polígon de quatre costats veurà que amb un sol vigilant en un vèrtex també en tindrà prou. I si la sala és pentagonal, també n’hi haurà prou amb un. Però per a polígons més grans de sis costats potser ja en caldrà més d’un.
L’any 1975, Václav Chvátal publicava la solució a la revista Journal of Combinatory Theory. Es veu que per molt complicat que sigui el disseny de la galeria, si aquesta té N vèrtexs -cantonades o racons- només cal un màxim de N/3 vigilants. Si surt un nombre exacte ja ho tenim i si surten decimal no els hi farem cas i ens quedarem només amb la part entera. Posem per cas que una sala té 12 cantonades, aleshores com a màxim necessitaria 12/3=4 vigilants, i si en té 13 faríem 13/3=4,3333333… la qual cosa ens diu que amb 4 vigilants en faríem prou. A més, l‘any 1978, el matemàtic Steve Fisk donà un senzill mètode de com s’haurien de situar els vigilants dividint la sala en triangles i combinant colors.
Ara ja ho saben, si ens cal anar al Museu de Lleida a controlar que ningú ens prengui res, almenys tinguem clar on situar-nos per veure-ho tot bé.

El problema de la galeria d’art forma part del que s’anomena geometria combinatòria i fou plantejat l’any 1973 pel matemàtic Victor Klee (1925-2007). Avui en dia les conseqüències d’aquest teorema tenen més aplicacions que calcular el nombre de vigilants de seguretat, també s’utilitza per a la instal·lació de càmeres de videovigilància, detectors de fum, punts d’il·luminació o amplificadors de senyals WIFI.


(Article publicat al suplement de SEGRE el dia 27/11/2016)