Decimals de Pi

Ahir, 14 de març, es va celebrar el Dia Internacional de les Matemàtiques proclamat així per la UNESCO, però aquesta data sempre s'ha conegut popularment entre el col·lectiu matemàtic com el Dia de Pi (The Pi Day) ja que en forma anglosaxona (3/14) coincideix amb els primer dígits del nombre π, el nombre irracional més famós de la història.

Sobre el nombre π n'hem parlat en anteriors articles aprofitant la proximitat d'aquesta data, però és que és una font tan inesgotable de fascinació que podríem fer articles i articles de Lo Teorema sense acabar les seues curiositats. Òbviament, no goso a dir que podríem trobar tantes curiositats com decimals té ja que és un decimal infinit i no periòdic. Com té infinits decimals no periòdics conté literalment totes les combinacions numèriques possibles i això pot donar lloc a curiosos descobriments. Per la xarxa hi ha algunes pàgines que permeten interactuar amb els decimals del nombre π. Un dels projectes més populars i veterans d'Internet és The Pi-Search Page (accessible a http://www.angio.net/pi/piquery) que juga amb els primers 200 milions decimals de π. 

PiSearch (accessible a http://pisearch.joshkeegan.co.uk/) és un cercador extremadament ràpid que permet trobar seqüències dins dels primers 5.000 milions de dígits. És un projecte de codi obert creat pel desenvolupador Josh Keegan. És molt senzill d'utilitzar, només cal que escriviu la seqüència de dígits a cercar i us tornarà en quina posició dels decimals de π la podeu trobar i quantes vegades apareix aquesta cadena en aquests 5.000 milions de decimals. Podeu provar de localitzar el vostre número de DNI, el número de telèfon, la data de naixement… Per exemple la tira de dígits 15032026 corresponent a la data d'avui apareix 47 vegades i el primer cop a la posició 136.466.131 dels decimals de π. La freqüència amb què apareixen cadascun del dígits és aproximadament la mateixa i en matemàtiques, quan això succeeix, s'anomena que és un nombre normal. Tot i això formalment no s'ha pogut demostrar que π és un nombre normal. La probabilitat de trobar qualsevol cadena de 8 xifres o menys és gairebé del 100%. Una cadena de 9 dígits té un 99,3% de probabilitats d'aparèixer i una cadena de 10 dígits té només un 39,3% de probabilitats.

El fet de calcular una gran quantitat de decimals de π no té una gran rellevància matemàtica però sí que és important que aquesta inquietud matemàtica de conèixer decimals de π ens acaba donant informació sobre la nostra capacitat de càlcul computacional que després els matemàtics faran servir per modelitzar altres aplicacions com la seguretat de les transaccions per la xarxa fins l'estudi de fenòmens naturals.

Rècord de π

El rècord actual de decimals calculats és de 100 bilions de dígits aconseguit el 2022 per la matemàtica japonesa Emma Haruka. El càlcul va trigar gairebé 158 dies. Podeu consultar el seu projecte a https://pi.delivery/ en el qual hi trobareu un simulador musical dels dígits de π. Amb els decimals trobats la música podria estar sonant durant 605.516 anys. 

(Article publicat al Lectura el 15 de març de 2026)

El triangle de Pascal

Un triangle numèric és una seqüència de nombres escrits en files apilades de tal manera que les files que anem afegint per sota d'una altra fila sempre tenen longitud creixent. Visualment tenen la forma d'un triangle.

Podeu agafar paper i boli que anem a construir un triangle d'aquests. Començarem amb el vèrtex superior del triangle, que anomenarem fila 0, i on posarem un 1. A la fila de sota, que serà la fila 1, hi posarem dos uns de tal manera que l’1 de la fila de dalt quedi centrat enmig. A la fila 2 escriurem dos 1 a cadascun dels extrem i al centre sumarem justament el dos nombres que estan a sobre, per tant 1+1=2. Les següents files es van construint de la mateixa manera, col·locant dos uns laterals i en cadascun dels espais centrals escrivim la suma dels dos nombres que estan a sobre d'aquests espais, així la fila 3 ens quedarà 1 3 3 1, i la de sota 1 4 6 4 1. Fixeu-vos com anem sumant de dos en dos els nombres de la fila anterior per anar construint la nova fila i aquestes files que van apareixent són simètriques.

L'ús d'aquest triangle numèric aparentment inofensiu té aplicacions en àlgebra, combinatòria, probabilitat… i entre els seus nombres hi ha força curiositats amagades. Anem a sumar les primeres files del triangle: 1, 2, 8, 16, 32, 64… si observem bé aquests nombres ens adonem que són potències del 2: 1=2⁰; 2=2¹; 4=2²; 8=2³; 16=2⁴; 32=2⁵; 64=2⁶… és a dir, la suma dels nombres de la fila n és justament 2ⁿ. Així podem saber que els elements de la fila 15 sumaran 2¹⁵=32768 sense necessitat d'escriure els 16 nombres d'aquesta fila. Si fem línies obliqües en el triangle veurem que apareixen diferents patrons: 1-2-3-4-5-6-...; 1-3-6-10-15-21… que són els nombres triangulars dels quals ja en vam parlar en un altre article; 1-4-10-20-35-56-... s'anomenen nombres tetraèdrics… també si pintem els parells o els imparells de diferents colors o els múltiples de nombres en concret s'obtenen patrons curiosos. us animo a descobrir-los.

El triangle va ser estudiat pel físic, matemàtic i filòsof Blaise Pascal (1623-1662) i es va publicar en la seua obra pòstuma l'any 1665. El pobre Pascal de petit va estar a punt de morir per culpa dels encanteris que li tirava una bruixa. Tanmateix, ja havia estat investigat anteriorment per l'algebrista italià Niccolò Fontana (1499-1557) conegut com a Tartaglia, que va publicar les primeres sis files del triangle el 1556 i per això també se l'anomena Triangle de Tartaglia. El sobrenom de Tartaglia –que en italià vol dir tartamut- li vingué a causa d'una ferida a la boca que li van fer amb una espasa mentre estava amagat a l'església de Brescia durant una de les moltes batalles que es duien a terme a Itàlia en aquell temps. Aleshores el triangle és de Pascal o de Tartaglia? Doncs ni d'un ni de l'altre. El mèrit el té el matemàtic persa Omar Khayyám (1048-1131) que ja va treballar amb el triangle i en descobrí propietats i per això en alguns països es coneix com el triangle de Khayyám. Als països orientals se l'anomena triangle de Yang Hui (1238-1298) per aquest matemàtic, astrònom i poeta xinès.

El triangle i el 2026

Si sumem tots els elements interiors d'aquest triangle numèric fins la fila corresponent a n=10 resulta que aquesta suma és, exactament, 2026. Això és la suma de les potències 2n des de n=0 fins a n=10. Aquesta suma dona 2047 i ara restem tots els 1 laterals que hi ha fins aquesta fila, que són 21 i 2047-21=2026.

(Article publicat al Lectura el 15 de febrer de 2026)