Un triangle numèric és una seqüència de nombres escrits en files apilades de tal manera que les files que anem afegint per sota d'una altra fila sempre tenen longitud creixent. Visualment tenen la forma d'un triangle.
Podeu agafar paper i boli que anem a construir un triangle d'aquests. Començarem amb el vèrtex superior del triangle, que anomenarem fila 0, i on posarem un 1. A la fila de sota, que serà la fila 1, hi posarem dos uns de tal manera que l’1 de la fila de dalt quedi centrat enmig. A la fila 2 escriurem dos 1 a cadascun dels extrem i al centre sumarem justament el dos nombres que estan a sobre, per tant 1+1=2. Les següents files es van construint de la mateixa manera, col·locant dos uns laterals i en cadascun dels espais centrals escrivim la suma dels dos nombres que estan a sobre d'aquests espais, així la fila 3 ens quedarà 1 3 3 1, i la de sota 1 4 6 4 1. Fixeu-vos com anem sumant de dos en dos els nombres de la fila anterior per anar construint la nova fila i aquestes files que van apareixent són simètriques.
L'ús d'aquest triangle numèric aparentment inofensiu té aplicacions en àlgebra, combinatòria, probabilitat… i entre els seus nombres hi ha força curiositats amagades. Anem a sumar les primeres files del triangle: 1, 2, 8, 16, 32, 64… si observem bé aquests nombres ens adonem que són potències del 2: 1=20; 2=21; 4=22; 8=23; 16=24; 32=25; 64=26… és a dir, la suma dels nombres de la fila n és justament 2n. Així podem saber que els elements de la fila 15 sumaran 215=32768 sense necessitat d'escriure els 16 nombres d'aquesta fila. Si fem línies obliqües en el triangle veurem que apareixen diferents patrons: 1-2-3-4-5-6-...; 1-3-6-10-15-21… que són els nombres triangulars dels quals ja en vam parlar en un altre article; 1-4-10-20-35-56-... s'anomenen nombres tetraèdrics… també si pintem els parells o els imparells de diferents colors o els múltiples de nombres en concret s'obtenen patrons curiosos. us animo a descobrir-los.
El triangle va ser estudiat pel físic, matemàtic i filòsof Blaise Pascal (1623-1662) i es va publicar en la seua obra pòstuma l'any 1665. El pobre Pascal de petit va estar a punt de morir per culpa dels encanteris que li tirava una bruixa. Tanmateix, ja havia estat investigat anteriorment per l'algebrista italià Niccolò Fontana (1499-1557) conegut com a Tartaglia, que va publicar les primeres sis files del triangle el 1556 i per això també se l'anomena Triangle de Tartaglia. El sobrenom de Tartaglia –que en italià vol dir tartamut- li vingué a causa d'una ferida a la boca que li van fer amb una espasa mentre estava amagat a l'església de Brescia durant una de les moltes batalles que es duien a terme a Itàlia en aquell temps. Aleshores el triangle és de Pascal o de Tartaglia? Doncs ni d'un ni de l'altre. El mèrit el té el matemàtic persa Omar Khayyám (1048-1131) que ja va treballar amb el triangle i en descobrí propietats i per això en alguns països es coneix com el triangle de Khayyám. Als països orientals se l'anomena triangle de Yang Hui (1238-1298) per aquest matemàtic, astrònom i poeta xinès.
El triangle i el 2026
Si sumem tots els elements interiors d'aquest triangle numèric fins la fila corresponent a n=10 resulta que aquesta suma és, exactament, 2026. Això és la suma de les potències 2n des de n=0 fins a n=10. Aquesta suma dona 2047 i ara restem tots els 1 laterals que hi ha fins aquesta fila, que són 21 i 2047-21=2026.
(Article publicat al Lectura el 15 de febrer de 2026)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada