divendres, de juliol 31, 2009

On hi caben 2, hi caben infinits

De tots els lectors és ben sabuda la funció de servei públic d'aquest bloc. En aquest article voldria fer un petit comentari d'un famós anunci d'aquest estiu d'una famosa casa de mobles (digui-li casa de mobles digui-li casa-de-vendre-fustes-i-espavila't-tu-a-muntar-les).
Primerament escric la premisa en forma completa: on hi caben 2 aleshores hi caben 3. Si fem una primera anàlisi des del punt de vista de la lògica matemàtica proposicional veiem que la premisa en qüestió ja és incorrecta. Utilitzarem la prova indirecta del modus tollens de Karl Popper. Es tracta d'una proposició condicional (si .... aleshores .....) i la principal propietat de les proposicions condicionals és que si neguem la conseqüència, alheshores la causa també ha de ser negada (crec recordar que s'anomena llei de la transposició). Veiem que realment la sentència peta aquesta propietat, si neguem la conseqüència ens quedarà: "On no hi caben 3, no hi caben 2". De manera òbvia ens adonem que això és ben fals perquè pot existir un lloc on no hi càpiguin 3, però sí que en càpiguin 2. Pensi en un sidecar per exemple. Per tant, des d'un punt de vista de la lògica clàssica l'enunciat és incorrecte.
Ara passem a una anàlisi matemàtica de la situació. Suposem que és cert que "on hi caben 2 aleshores en caben 3". Si en caben 3, aleshores podem agafar un subconjunt de 2 elements del conjunt total de 3. En aquest subconjunt de 2 elements, suposant certa la hipòtesis, també hi cabrien 3, per tant, en total ja hi cabrien 4=3+1. En aquest nou conjunt de 4 podem destriar 2 subconjunts de 2 elements cadascun, que per hipòtesis en cabrien 3, per tant tenim un nou conjunt de 3+3=6 elements. Així on hi caben 2, en caben 6. Però aquest nou conjunt de 6 el dividim en 3 subconjunts de 2, i en cadascun d'aquests subconjunts en cabrien 3, per tant ja en tenim 9. Si fem la mateixa operació, on hi caben 9 en caben 13, i on hi caben 13 en caben 19, i on hi caben 19 en caben 28 i 42 i 63 i 94 i 141 i... de tal manera que en un conjunt inicial de 2 elements en cabrien, si més no, els elements d'aquesta successió 2, 3, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, 141... succesió que podem definir de forma recurrent a(n+1)=E[3*a(n)/2] on E(x) representa la funció part entera. Aquesta successió és clarament creixent i amb límit infinit. Per tant podem concloure que on en caben 2, en caben infinits...
Conclusió: el missatge correcte hauria d'haver estat "Si hi caben 3 i només 3 aleshores hi caben 2 i només 2"... no es creguin la publicitat.

5 comentaris:

10r ha dit...

"Si hi caben 3 i només 3 aleshores hi caben 2 i només 2".
Estàs segur d'aquesta afirmació final ?
A mi em fa bastant mal d'ulls ....

P.S. Segur que al llibre Guiness dels records hi ha algun penjat que ha posat més de 10 persones en un sidecar.

Babunski ha dit...

Seguramenr r10... de fet en una peli d'aquelles on surten senyors i senyores despullats i despullades sortien 3 en un sidecar en unes postures una mica impracticables.

Dani R. ha dit...

A la meva dona li encanta aquest anunci i tot el dia canta el jingle. Des d'ara em comprometo a perseguir-la fins que canti correctament l'enunciat (pel bé del rigor matemàtic).

Oscar ha dit...

Dani, doncs suposo que dir el títol proposat per senyor Babunski en les poques notes de la tornada de la cancó "se me antoja",com a mínim, complicat.

Babunski ha dit...

Dani... sort que algú ens entèn
als matemàtics!

Oscar: només cal afegir un parell de notes i ja tenim la cançó arreglada...