On hi caben 2, hi caben infinits

De tots els lectors és ben sabuda la funció de servei públic d'aquest bloc. En aquest article voldria fer un petit comentari d'un famós anunci d'aquest estiu d'una famosa casa de mobles (digui-li casa de mobles digui-li casa-de-vendre-fustes-i-espavila't-tu-a-muntar-les).

Primerament escric la premisa en forma completa: on hi caben 2 aleshores hi caben 3. Si fem una primera anàlisi des del punt de vista de la lògica matemàtica proposicional veiem que la premisa en qüestió ja és incorrecta. Utilitzarem la prova indirecta del modus tollens de Karl Popper. Es tracta d'una proposició condicional (si .... aleshores .....) i la principal propietat de les proposicions condicionals és que si neguem la conseqüència, alheshores la causa també ha de ser negada (crec recordar que s'anomena llei de la transposició). Veiem que realment la sentència peta aquesta propietat, si neguem la conseqüència ens quedarà: "On no hi caben 3, no hi caben 2". De manera òbvia ens adonem que això és ben fals perquè pot existir un lloc on no hi càpiguin 3, però sí que en càpiguin 2. Pensi en un sidecar per exemple. Per tant, des d'un punt de vista de la lògica clàssica l'enunciat és incorrecte.

Ara passem a una anàlisi matemàtica de la situació. Suposem que és cert que "on hi caben 2 aleshores en caben 3". Si en caben 3, aleshores podem agafar un subconjunt de 2 elements del conjunt total de 3. En aquest subconjunt de 2 elements, suposant certa la hipòtesis, també hi cabrien 3, per tant, en total ja hi cabrien 4=3+1. En aquest nou conjunt de 4 podem destriar 2 subconjunts de 2 elements cadascun, que per hipòtesis en cabrien 3, per tant tenim un nou conjunt de 3+3=6 elements. Així on hi caben 2, en caben 6. Però aquest nou conjunt de 6 el dividim en 3 subconjunts de 2, i en cadascun d'aquests subconjunts en cabrien 3, per tant ja en tenim 9. Si fem la mateixa operació, on hi caben 9 en caben 13, i on hi caben 13 en caben 19, i on hi caben 19 en caben 28 i 42 i 63 i 94 i 141 i... de tal manera que en un conjunt inicial de 2 elements en cabrien, si més no, els elements d'aquesta successió 2, 3, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, 141... succesió que podem definir de forma recurrent a(n+1)=E[3*a(n)/2] on E(x) representa la funció part entera. Aquesta successió és clarament creixent i amb límit infinit. Per tant podem concloure que on en caben 2, en caben infinits...

Conclusió: el missatge correcte hauria d'haver estat "Si hi caben 3 i només 3 aleshores hi caben 2 i només 2"... no es creguin la publicitat.