Curiositat matemàtica dels nostres cognoms

Suposo que vostès sabran que en les nostres contrades és habitual tenir 2 cognoms. Si s'ho para a pensar vostè mateix deu ser un cas. Això no és gaire habitual al món (que tingui dos cognoms, no que vostè sigui un cas).

Doncs bé, ara comença el joc matemàtic. Intentem allargar una mica més els nostres cognoms. Com? Afegim després del nostre segon cognom el segon cognom del nostre pare i a continuació el segon cognom de la nostra mare. Després afegim el tercer cognom del nostre pare (que serà el segon del nostre padrí) i el tercer cognom de la nostra mare. I així successivament... D'aquesta manera pot fer un nom tan rocambolesc com li vingui de gust. I si afegeix la preposició "de" entre cognoms semblarà algun marquès o comte d'aquells que surten a l'ABC.

El cas és que una forma molt més senzilla d'anar posant cognoms als que ja tenim seria la següent: posem en les posicions senars els cognoms del progenitor del mateix sexe que nosaltres. Evidentment per fer aquest procés cal tenir clar el sexe de cadascú. És a dir, si som homes posem en les posicions imparelles els cognoms dels nostres pares i si som dona posem els de les nostres mares en posició senar. Com quedaria, aleshores, la nostra successió de cognoms? Assignarem un 0 a cada cognom que sigui el primer de la persona que sigui del nostre mateix sexe i un 1 al primer cognom de cada avantpassat nostre que sigui de sexe diferent. D'aquesta manera ens queda una successió de 0 i 1 agrupats de 2 en 2. És a dir de la fomra 2^k. Anem a veure què passa:

• Si k=1: en aquest cas són els nostres cognoms que corresponen als primers cognoms dels nostres pares. Tant si som homes com dones la seqüència ens quedarà 01.
• Si k=2: tenim els cognoms dels nostres padrins. Els de posició imparella són els del nostre pare, per tant 0 i 1 i els de posició parella els de la nostra mare. Com el primer cognom de la nostre mare ve d'un padrí patern serà un 1 i com el segon cognom prové de la seua mare serà un 0. Així la successió queda 0110.
• Si k=3: fent el mateix raonament que l'apartat anterior la successió seria ara: 01101001
• Si k=4:  0110100110010110
• Si k=5:  01101001100101101001011001101001
• Si k=6: 011010011001011010010110011010011001011001101001011010011001011

I així anar fent. A veure si ens adonem d'algunes cosetes. La més fàcil de veure és que la primera meitat de cada fila és igual a la fila anterior. I el que també podem observar és que la primera meitat de cada fila és igual als elements de posició imparell de cada fila, aquesta costa una mica més de fixar-s'hi.

Doncs aquesta successió que es forma fent aquest joc dels cognoms és una successió famosa en matemàtiques. Meravellós! És la successió coneguda com successió de Thue-Morse.  L'any 1906 Axl Thue va necessitar "inventar" aquesta successió per un treball de combinatòria lingüística i el 1921 Marston Morse l'utilitzà en una branca ben diferent, per resoldre uns problemes de geometria diferencial. I el que passa amb les sucessions és que apareixen quan menys t'ho esperes, aquesta és la gràcia (i la bellesa) de les matemàtiques. Per exemple, el jugador d'escacs Max Euwe la va aplicar per l'estudi de partides d'escacs.

A més, si prenem aquesta successió (infinita) com un nombre binari amb una part entera d'una sola xifra i el passem a base 10 obtenim el 0,41245403364... que és irracional (evidentment) i trascendent. Aquest nombre s'anomena constant de Thue-Morse

Guau! Si us ha agradat el tema aquest de Thue-Morse podeu consultar:

• L'Enciclopèdia de les successions.
• Pàgina de la Viquipèdia dedicada a aquesta successió.
• El web de Paco Santos, un crack de matemàtic espanyol qui crec que va tenir la idea de relacionar aquesta successió amb els cognoms.
• La constant de Thue-Morse a Mathsworld.