Pierre Rémond de Montmort

A la França del segle XVII, gràcies als dubtes de l’escriptor Antoine Gombaud (el cavaller de Méré) sobre unes apostes jugant als daus, va néixer la teoria matemàtica de la probabilitat. Noms com Blaise Pascal, Pierre de Fermat; Pierre-Simon Laplace hi van incidir, com també ho va fer el nostre matemàtic, Pierre Rémond de Montmort, que va néixer tal dia com avui de 1678 a París.

Pierre Rémond provenia d’una família rica i benestant de tal manera que va rebre una important herència que invertí comprant una finca amb un castell a Montmort i d’aquí el seu sobrenom de Pierre de Montmort. També va utilitzar el seu poder econòmic com a mecenes científic pagant la impressió de 100 còpies del Tractatus de quadratura curvarum d'Isaac Newton entre altres accions.

La gran contribució de Montmort a la teoria de la probabilitat va ser el llibre Essay d'analyse sur les jeux de hazard (1708) -Assaig d’anàlisi sobre els jocs d’atzar-, un recull de problemes a partir de jocs de cartes amb apostes monetàries ben sucoses, molt populars a França entre la noblesa de Lluís XIV.

Un dels jocs que estudia és el Treize (tretze) i que és similar al que nosaltres coneixem el rellotge. Es tracta de tenir 4 baralles de 52 cartes posades de cap per avall. Aleshores cal anar destapant-les una a una al mateix temps que es va comptant un, dos, tres… i així successivament fins a tretze. Si en tota aquesta sèrie de cartes no coincideix mai el número que es diu amb el de la carta el jugador paga als altres el que han apostat al joc. En canvi si es gira una carta que coincideix amb el número que es diu guanya tots els diners apostats.

Aquest problema va donar lloc als nombres de Montmort o subfactorial !n. El subfactorial de n es defineix com el nombre enter més proper al resultat de la divisió entre el factorial de n (el producte d’un nombre pels seus naturals anteriors fins a l’1) entre el nombre conegut en matemàtiques com e~2,71828…

Vegem-ho amb un exemple. Tenim una baralla de quatre cartes {1, 2, 3, 4], quantes combinacions de cartes podem fer sense que coincideixi cap recompte amb el valor de la carta? {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {2, 1, 4, 3}, {3, 1, 4, 2}, {3, 4, 1, 2}, {3, 4, 2, 1}, {4, 1, 2, 3}, {4, 3, 2, 1}, {4, 3, 1, 2}. El superfactorial de 4 seria el valor més proper a (4×3×2×1)/e~8,829… és a dir 9, que són les combinacions (desordres) que hem trobat.

El joc ha donat múltiples variants com el conegut amb el nom del problema de les cartes extraviades: Una persona ha escrit n cartes a n persones diferents i escriu les adreces en n sobres. De quantes formes pot col·locar les cartes als sobres de manera que totes les cartes estiguin en sobres incorrectes, és a dir, que no portin l'adreça que correspon a la carta que contenen?

Triangle de Pascal

Aquest triangle en el qual cadascun dels nombres centrals s’obté sumant els dos nombres superiors té moltes aplicacions. Montmort l’anomenà triangle de Pascal abans que Pascal. Els italians l’anomenen triangle de Tartaglia, els xinesos triangle de Yang Hui i els perses triangle de Khayyám.

(Article publicat al Lectura el 27 d'octubre de 2024)

Matemàtiques agrícoles

Avui, festivitat de Sant Miquel, és dia gran de fira a la ciutat de Lleida. El 29 de setembre de 1232, coincidint amb el final de la collita, es va celebrar durant deu dies la primera fira agrícola i ramadera gràcies al privilegi atorgat pel rei Jaume I. I, en conseqüència, avui és un molt bon dia per relacionar l’agricultura amb les matemàtiques que ja des de l’antiguitat la cultura del cultiu de la terra les va necessitar.

Els papirs de Rhind i de Moscou són els documents matemàtics més importants de l’antic Egipte i en el centenar de problemes que inclouen en trobem un bon sarpat en els quals els egipcis mostren les seues preocupacions per a guardar el gra o gestionar els terrenys de cultiu amb les anades i vingudes de l’aigua del Nil. El problema 50 del Rhind diu “Un camp circular té un diàmetre de 9 khet, quina és la seua àrea?”. Avui sabem que l’àrea d’un cercle depèn del nombre pi però en aquell temps no el coneixien, així que el papir donava la curiosa fórmula 64×d×d/81 per a calcular l’àrea sabent el valor d del diàmetre, d’aquesta manera l’àrea és de 64 khets quadrats. Fixeu-vos que els egipcis aproximaven l’àrea d’un terreny circular a l’àrea d’un quadrat de costat 8/9 parts del diàmetre! El problema 44 proposa “Calculeu la capacitat d’un graner de 10 colzes de longitud, 10 colzes d’amplada i 10 colzes d’alçada”. El problema és de senzilla resolució perquè simplement és el càlcul del volum d’un prisma que seria 10×10×10=1000 colzes cúbics. 

L’estructura agrària de la societat egípcia va afavorir l’aparició de problemes de repartiment de pa, gra i cervesa. Així el problema 65 del Rhind formula “Dividiu 10 heqats de gra entre 10 homes de forma que la diferència entre cadascun sigui d’1/8 d’heqat.” Avui coneixent l’àlgebra el podríem resoldre mitjançant una equació de la forma x+(x+⅛)+(x+2/8)+...+(x+9/8)=10, en canvi els egipcis el resolen mitjançant la seua interessant aritmètica de fraccions.

Si us hi heu fixat, un altre element importantíssim de la matemàtica agrícola egípcia -i actual- són les unitats de mesura. En longitud, un colze egipci equival a 7 pams o 28 dits  (no mesuraven els pams amb els dits separats), uns 52,5 cm. Un khet eren 100 colzes, uns 52,5 metres actuals. De volum ha aparegut l’heqat que equivalía a 10 hin, i 1 hin és 1/200 d’un khar que són ⅔ d’un colze cúbic, és a dir, 2/3×52,5×52,5×52,5=96.469 centímetres cúbics o el que seria el mateix, uns 96,5 litres. Aleshores 1 heqat equivaldria aproximadament a 4,82 litres. 

Per últim comentar també que els egipcis tenien unes relacions anomenades pesu que relacionaven la quantitat de cervesa i de pa que es podia obtenir a partir de cada heqat de gra de cereal. Per exemple el pesu de pa era el resultat de dividir el nombre de pans elaborats entre els heqats de cereal utilitzats, aquest valor estava al voltant del 5 habitualment. Uns cracs de les matemàtiques i de l’agricultura aquests egipcis.

L’embolic de les mesures agràries

Per superfícies els egipcis no es complicaven i feien servir el colze quadrat. Ara s’utilitza l’hectàrea o el metre quadrat però fins fa poc es feien servir la cuartera o el jornal, una unitat poc científica perquè mentre que un jornal a les Borges Blanques equivalia a 4.358 metres quadrats el de Tàrrega era de 3.704

(Article publicat al Lectura el 29 de setembre de 2024)