Els nombres van aparèixer per la necessitat que va tenir l'ésser humà de comptar coses. Els nostres avantpassats feien sumes amb normalitat, les restes només de quantitats petites sobre quantitats més grans i els prestigiosos matemàtics de l’antiguitat només resolien equacions amb coeficients positius i solucions positives. Els xinesos van ser els primers que van posar en pràctica nombres de diferents tipus fent servir uns bastonets de color roig per indicar valors positius i uns altres de color negre per a indicar valors negatius. A Europa els va introduir Leonardo de Pisa Fibonacci el 1202, però els matemàtics de l’època no ho acabaven de veure clar això dels negatius. Finalment es va poder comprovar que podien ser útils i avui ja estem acostumats a trobar-los en termòmetres, ascensors que van al pàrquing i en comptabilitat, curiosament amb color diferent dels seus inicis xinesos. El signe - (igual que el +) no va fer fortuna fins el 1489 i fou idea del comptable alemany Johann Widman que se li va acudir escriure’l per indicar quan faltaven quantitats (i el + per quan en sobraven).
Un cop definit el nostre nou conjunt numèric hem de definir quines operacions podem fer amb ell. Què vol dir sumar nombres negatius? El matemàtic indi Brahmagupta (s. VII dC) va deixar escrit que sumar nombres negatius equivalia a acumular deute. De fet ell anomenava deute als nombres negatius i fortuna als positius. Així si devem 100 € el banc ens ho escriu com -100 i si després tenim un nou deute de 50 € tindrem (-100)+(-50)=-150, és a dir un deute de 150 €. Queda clar, doncs, que una suma de nombre negatius és un altre nombre negatiu de deute més gran.
I restar negatius? Què vol dir? Si pensem en els deutes, sumar deute és acumular deute com hem vist fa un moment, però què fem si restem deute? Vegem-ho en un exemple, tenim el nostre descobert al compte bancari de 150 € (-150) i hi ingressem 200 €, aleshores el que fem és restar 200 € de deute perquè l’estem reduint aquest deute. Matemàticament (-150)-(-200)=+50. En canvi si el deute de 150 € el reduïm en 50 € tindrem que (-150)-(-50)=-100 i continua quedant negatiu, és a dir, deute però menys. Fent servir els símils del matemàtic Brahmagupta restar deute és guanyar fortuna. Matemàticament restar un nombre negatiu és el mateix que sumar un positiu i a vegades donarà positiu i a vegades negatiu, tot depenent dels valors absoluts (valor d’un nombre sense tenir en compte el signe).
També és senzill pensar què succeeix si multipliquen un nombre positiu per un nombre negatiu. Pensem en el deute -100 anterior que tenim al compte, si ens carreguen un altre deute igual ja sabem que tindrem (-100)+(-100)=-200, i si ens el carreguen un altre cop (-100)+(-100)+(-100)=-300. Quan sumem varies vegades una mateixa quantitat el que fem és multiplicar i, per tant, podem dir que (-100)×3=-300. Conclusió, quan multipliquem un valor positiu per un negatiu el resultat és negatiu.
Menys per menys
En la imatge partim del fet que 1×2=2. Després canviem 1 per (2-1) i el 2 per (3-1) que òbviament és el mateix. Multipliquem aplicant la propietat distributiva i al resultat de (-1)×(-1) li posem el valor a que volem deduir. Com que 1+a ha de ser 2, a la força a ha de valer 1 i, per tant, (-1)×(-1)=+1.
(Article publicat al Lectura el 12 d'abril de 2026)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada