En anteriors articles hem parlat d’alguns objectes fractals com el fractal de Koch i la piràmide de Sierpinski, objectes autosimilars, és a dir, amb una estructura que es va repetint i en què si agafem una lupa i fem un zoom a una part el que veiem és similar al total. Tant el floc de neu de Koch com la piràmide de Sierpinski donen lloc a boniques figures de motius nadalencs. Avui, a falta de pocs dies per les festes, en descobrirem un altre: l’arbre pitagòric.
L’arbre de Pitàgores és un fractal relacionat amb el teorema de Pitàgores ideat per l’enginyer i professor de matemàtiques dels Països Baixos Albert Bosman el 1942, curiosament un parell de dècades abans que Benoit Mandelbrot -el considerat pare de la geometria fractal- comencés a parlar dels fractals. Aquesta construcció que ara explicarem la va publicar al llibre El meravellós camp d’exploració de la geometria plana el 1957.
Per a fer la construcció cal partir d’un quadrat inicial (el tronc de l’arbre). Sobre el costat superior del quadrat hi dibuixem un triangle rectangle isòsceles (dos costats iguals) de tal manera que el seu costat més llarg (hipotenusa) coincideixi amb el costat del quadrat del tronc. Si el triangle no és isòsceles també es pot construir, però aleshores no queda simètric i personalment crec que té menys encant tot i que es formen estructures curioses.
En el següent pas, a sobre dels dos costats iguals del triangle (catets) que acabem de fer generem dos nous quadrats. I a continuació, sobre de cadascun d’aquest quadrats anem repetint el procés que hem descrit indefinidament (en matemàtiques diem que fem iteracions). Amb els quadrats i triangles que van apareixent es va formant una estructura geomètrica d’arbre on cada branca està formada per quadrats que donen pas a més branques quadrades i que pintat amb colors dona una bona idea de decoració nadalenca.
Si ens fixem ara en les propietats geomètriques, la suma de les àrees de cadascun dels quadrats que construïm sobre els catets dels triangles és igual a l’àrea del quadrat sobre el qual hem construït el triangle isòsceles. Això és conseqüència del teorema de Pitàgores, que ens diu que l’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa a d’un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets b i c: a2=b2+c2.
Anem a comptar quants quadrats ens apareixen en cada pas (iteració). Comencem amb 1=20 quadrat inicial (el tronc), després en el primer pas en construïm 2=21, a continuació 4=22, després 8=23, i 16=24, i 32=25, i 64=26, 128=27, 256=28… és a dir en el pas n construïm 2n quadrats. A més, en cada pas que construïm quadrats l’àrea del quadrat que es forma és la meitat del quadrat anterior. Us atreviu a comptar l’àrea total de diferents arbres pitagòrics “petits”?
Àrees
Si el quadrat més gran, el del tronc, té una àrea de L × L on L és la longitud del costat, tot l'arbre de Pitàgores encaixa perfectament dins una caixa de la mida de 6L ×4L. En el nostre cas el quadrat inicial és de costats 2×2, per tant hi cap dins d’un rectangle de 12×8. Ho podeu comprovar al dibuix. Bones Festes!
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada