Logaritmes

El logaritme és un d’aquell conceptes que massa sovint s’anomenen per a fer veure que les matemàtiques són molt difícils i no és ben bé així. El logaritme és una eina matemàtica ben senzilla d’entendre i de fer-ne ús, de fet el matemàtic Pierre Simon Laplace va afirmar que “l’invent dels logaritmes pot haver duplicat la vida dels astrònoms” ja que els càlculs amb nombres de molts dígits que feien servir els astrònoms s’havien simplificat gràcies al seu ús.

La popularització dels logaritmes va venir de la mà d’un extravagant terratinent escocès aficionat a les matemàtiques, John Napier (1550-1617) i el seu libre Mirifici logarithmorum canonis constructio (1614), la traducció del nom Construcció de la meravellosa regla dels logaritmes ja us pot fer pensar que fou un èxit comercial. Napier vivia en un castell, tenia títol de baró, sempre anava vestit amb capa i caputxa negra, tenia un pollastre negre de mascota que sempre anava amb ell i va titllar el Papa d’Anticrist. Per crear la paraula logaritme va ajuntar dos paraules gregues: logos, que vol dir raó, i arithmos, que vol dir nombre. En aquesta mateixa obra també introduí el punt com a separador decimal enlloc de la coma. I d’on li va venir a aquest home la necessitat d’introduir els logaritmes? Napier es va fer càrrec dels tributs de Merchiston i en el prefaci de la seua obra deixa ben clar que “Ja que res no és més tediós, col·legues matemàtics, en la pràctica de les arts matemàtiques que els grans retards soferts en el tedi de les llargues multiplicacions i divisions, el càlcul de raons i l'extracció de les arrels quadrades i cúbiques, i en les quals no només s'ha de considerar el retard de temps sinó també la molèstia”. Vaja, que li feien mandra les operacions.

Però què és un logaritme? Tot i que Neper va donar la definició de forma diferent, podem dir que un nombre m és el logaritme en base a de b si a^m=b, en llenguatge matemàtic m=log_ab si a^m=b. És a dir, simplement es tracta de trobar a quin nombre (m) hem d’elevar la base del logaritme (a) per a què ens doni el nombre b. Per exemple log₂8=3 ja que 2³=2×2×2=8, log₃9=2 ja que 3²=3×3=9 o log₁₀10000=4 ja que 10⁴=10×10×10×10=10000 (de fet, quan es tracta d’un logaritme de base 10, aquest nombre no s’acostuma a escriure: log₁₀1000=log1000). I quant deu ser el logaritme d’1 (log(1)) en qualsevol base? Només cal que penseu en propietats fonamentals de les potències… a quin nombre hem d’elevar un altre per a què el resultat doni sempre 1?

Els logaritmes permeten passar les multiplicacions a sumes i les divisions en restes facilitant els càlculs: 3=log(1000)=log(10×100)=log(10)+log(100)=1+2. Deixo per un altre article el concepte de logaritme neperià, que com podeu imaginar, el seu nom també prové de Neper.

Aplicacions dels logaritmes

Avui en dia els logaritmes són necessaris per a estudiar moltíssimes situacions: càlcul d’amortitzacions de capital, escales de terratrèmols, propagació d’epidèmies, creixement de plantes, pH de líquids, activitat nuclear o en els famosos decibels de mesura del nivell d’intensitat sonora. Per aquest motiu si un altaveu produeix un so de 70 dB, dos altaveus no produeixen un so de 140 dB, sinó que és de 73 dB. cada cop que es dobla un so els decibels augmenten en 3 que és justament 10*log₁₀2 d’acord amb la propietat de passar productes a sumes.

(Article publicat al Lectura el 23 de novembre de 2025)