Durant uns anys, una coneguda cadena de menjar ràpid, venia els nuggets en paquets de 6, 9 o 20. Si algú volia fer una comanda de 15 nuggets només li calia demanar un paquet de 6 i un paquet de 9 ja que 6+9=15. Si algú en volia 21 havia de fer una comanda de dos paquets de 6 i un de 9 perquè 6+6+9=21. Si hi havia molta gana i es volien demanar 33 nuggets es podien demanar 4 paquets de 6 i un de 9: 6+6+6+6+9=33. Però i si pensem que amb 33 nuggets fem curt i en volem 34? Doncs no podríem ja que no existeix cap combinació amb 6, 9 i 20 que doni 34. Per tant, o ens quedem amb gana i en demanem 33 o tirem llarg i en demanem 35, un paquet de cada.
Resulta que hi ha certes quantitats de nuggets que no es poden aconseguir amb aquestes combinacions de caixes: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 i 43. A partir de més de 43 nuggets ja és possible fer qualsevol comanda combinant les caixes disponibles de 6, 9 i 20. Aquest 43 és el nombre de nuggets més gran que no es pot aconseguir amb paquets de 6, 9 i 20 i aquest curiós nombre rep el nom de nombre de Frobenius [6, 9, 20] (també se’l coneix com a nombre McNugget).
No sé si els encarregats de màrqueting d’aquesta cadena d’hamburgueseries van estudiar aquesta situació però la veritat és que van afegir la possibilitat de comprar els nuggets en una caixa de 4 i he comprovat que han ampliat el paquet de 20 a 25 nuggets de tal manera que ara les combinacions són amb 4, 6, 9 i 25. Amb aquestes noves combinacions de nuggets per caixa el nombre de Frobenius [4, 6, 9, 25] és força més petit i deixo al lector o lectora que l’intenti descobrir.
Històricament aquest problema de combinatòria o de recompte prové del conegut problema de les monedes de Frobenius. Aquest problema consisteix en esbrinar quina és la major quantitat de diners que no es pot obtenir utilitzant monedes d’un valor específic. Per exemple, si només existissin monedes de 3 i 5 cèntims d’euro podríem fer qualsevol combinació que sumés una quantitat major que 7 però no podem aconseguir 7 cèntims. I amb la mateixa idea penseu en els caixers automàtics de les entitats bancàries… n’hi ha prou amb bitllets de 20 € i 50 € per a poder aconseguir qualsevol quantitat de diners que sigui múltiple de 10 i major de 30 €?
Frobenius
El 26 d’octubre de 1849, avui fa 176 anys, naixia el matemàtic alemany Ferdinand Georg Frobenius. Sobretot és conegut, juntament amb Eugène Rouché, per un dels teoremes més importants de l’àlgebra del s.XX, el teorema de Rouché-Frobenius sobre les solucions d’un sistema d’equacions però va treballar en nombrosos camps de les matemàtiques i molts dels seus articles figuren avui en llibres de text.
(Article publicat al Lectura el 26 d'octubre de 2025)
Darrerament es parla molt en els entorn pedagògics de l’àmbit de les matemàtiques sobre la manera d’aprendre les taules de multiplicar. Cal saber-se les taules de multiplicar? Quines? Per què de l’1 al 10 i no la de l’11 o la del 13? Cal saber la del 4 si és el doble de la del 2? I la del 8 o la del 6? Però si volem que l’alumnat aprengui les taules de multiplicar com ho fem per a què comprenguin què estan fent quan multipliquen?
La multiplicació és la repetició d’una suma de la mateixa quantitat. Si fem 4×5 el que estem fent és sumar 4 vegades el 5: 4×5=5+5+5+5=20. Si no recordem quan és 5×5 i sí recordem quant és 4×5 podem deduir que és afegir un 5 més al 20, per tant 5×5=20+5=25. Multiplicar és més ràpid que fer aquestes sumes que amb nombres grans poden arribar a ser molt llargues. Multipliquem quan volem saber quants ous hi ha en 4 paquets de 6, quants pisos hi ha en un edifici de 6 plantes amb 4 habitatges per replà, quants seients hi ha en una sala si hi ha 6 files de 4 cadires o per saber de quantes maneres em puc vestir si tinc 4 pantalons i 6 camises.
La humanitat fa anys que té la necessitat de multiplicar. Els egipcis, que eren molt pràctics, només els calia saber la taula del 2 ja que ho descomponien tot a partir de les potències de 2 i sumaven resultats. Si volien fer 13×12 feien 13×8 i 13×4 i ho sumaven. Els babilonis van fer les primeres taules de multiplicar i grecs, indis i àrabs van desenvolupar diferents mètodes de multiplicar, alguns de geomètrics a partir de la construcció de rectangles i buscar la seua àrea, com feia Euclides. Per a multiplicar 4×5 construïm un rectangle de 4 quadradets de base i 5 d’altura i comptem els quadradets que queden a l’interior, això és una multiplicació a partir del càlcul de l’àrea.
Tota la comunitat matemàtica està d’acord en què a l’hora de sumar cal fer servir el símbol + però a l’hora de multiplicar la tenim dividida entre els que prefereixen utilitzar × o bé ·. El signe × va ser introduït pel clergue i matemàtic William Oughtred el 1631 en el seu llibre Clavis Mathematicae. El motiu que va donar fou que era fàcil i ràpid d’escriure. El 1698 Gottfried Leibniz escriu una carta a Johann Bernoulli on li deia: “No m’agrada × com a símbol de la multiplicació, ja que es confon fàcilment amb x; … Sovint utilitzo simplement un punt i indico la multiplicació com a·b" i així es va popularitzar el punt volat. Amb l’arribada de la informàtica a mitjans del segle XX i a causa que el símbol x no apareix als teclats es va popularitzar l’asterisc * per a indicar multiplicacions. També és habitual no posar cap símbol quan s’utilitza en expressions algebraiques com 5x que vol dir x+x+x+x+x. Finalment també existeix la notació (a)(b) proposada per Ricard Dedekind i utilitzada en certs contextos.
Multiplicar amb àrees
Si volem multiplicar 15×12 ho podem fer amb rectangles. Construim un rectangle de 15 files i 12 columnes i el dividim en rectangles més petits fàcils de comptar àrees. En aquest cas un de 10×10=100, un de 2×10=20, un de 10×5=50 i un de 2×5=10. Per tant podem dir que 15×12=100+20+50+10=180. És un bon mètode per entendre què fem quan multipliquem i per buscar trucs de càlcul mental.
(Article publicat al Lectura el 28 de setembre de 2025)
Als anys seixanta el rock es posa dur gràcies als Led Zeppelin. La seua influència als en la dècada dels setanta fa que apareguin bandes com Iron Maiden, Judas Priest o Def Leppard. Però els Zeppelin van tenir dos hereus que van ser claus en la història del heavy metal, els Deep Purple i els Black Sabbath.
A l'àrea de Birmingham havia nascut un txiquet de nom John Michael però de ben petit l'anomenaven carinyosament Ozzy. No va tenir una infància fàcil, amb 15 anys abandonà els estudis i se'n va anar a treballar de paleta i als 17 anys ja era condemnat per robatori en una botiga de roba, com no va poder pagar la multa i son pare no la va voler pagar per alliçonar-lo Ozzy va passar sis setmanes a garjola. Gràcies als Beatles Ozzy es va interessar pel rock i el 1967 va ser fitxat com a cantant en la banda de Geezer Butler, la banda va durar només dos concerts. Aleshores els Polka Tulk Blues de Tony Iommi i el bateria Bill Ward els incorporen rebatejant-se com a Earth. El nom no els acabava de fer el pes fins que composen un tema de títol "Black Sabbath" que els agrada tant que es canvien el nom justament a Black Sabbath.
Graven el primer disc "Black Sabbath" (1969) i potser és el disc més rendible de la història de la música. Amb només dos dies de gravació i 800 lliures de pressupost que els va oferir Warner aconsegueixen posar-lo al 8 de les llistes britàniques en gran part gràcies als temes "Black Sabbath", "Evil woman" i "The wizard". Va ser un èxit comercial inesperat a les emissores de ràdio britàniques que es va posar a la venda justament un divendres 13. En aquesta època Ousborne coneix a Sharon Arden que anys després seria la seua esposa i contracta al seu sogre de manager. Això és el que es diu entrar bé amb la família política. L'anterior relació havia acabat després que es posés a disparar contra les gallines de la seua parella en una tarda de borratxera. Amb aquesta portada -la més tètrica de la història de la música- i amb alguna lletra, només cal escoltar el primer single en forma de poesia amb les campanes i la pluja, Black Sabbath es converteix en la banda que millor correlaciona satanisme i metal. Si us fixeu en la portada apareix un casalot a vora d'un riu amb una dona (persona o fantasma?) en primer pla. Aquesta fotografia ningú ha sapigut trobar d'on és i a més els Sabbath van fer córrer la llegenda que quan van fer la foto no hi havia cap persona...
Amb el segon disc "Paranoid" (1970) comencen amb la seua obsessió de títols de paraules relacionades amb desequilibris mentals. D'aquest disc extreuen com a single "Paranoid" que es converteix en el major èxit en llistes arribant al 4 RU -l'únic single Top Ten- i catapultant el disc a l'1 en vendes. S'explica que el so característic del disc va venir pel fet que Iommi es va tallar un dit i es va veure obligat a afinar i tocar la guitarra mig to més baix. Amb aquest single van tenir el primer pollastre en escena, durant un concert a Newcastle la multitud completament borratxa va envair
l'escenari, els van destrossar els equips de so, van robar la bateria i van ser atacats per un grup d'skinheads ofesos pel tema "Fairies wear boots". D'aquest disc també son "Iron man" i "War pigs". Justament aquest havia de ser el títol del disc però en plena guerra del Vietnam van ser censurats per la discogràfica davant l'amença de veto de les emissores americanes. Una curiosa evolució del satanisme a l'antibel·licisme.
Només uns mesos més tard publiquen "Master of reality" (1971) seguint la línia de vendes però aquest cop entrant també amb força al mercat americà arribant al 8 EUA i al 5 RU i sent disc d'or en dos mesos. "Children of the grave" n'és el tema més destacat. En aquest LP s'inclou el curiós tema "After forever" en el qual s'animava als joves ateus a que creguessin en Déu (They should realize before they criticize that God is the only way to love) i el problema suposo que devia ser que ho cantava qui ho cantava i l'església va considerar la cançó com a blasfèmia. Tot i que els membres de la banda confessaven el seu catolicisme es van crear la fama, a més és una època on les referències satàniques estan de moda i els obre les portes de bat a bat al mercat dels EUA i això els va portar conseqüències en la seua gira americana. Per exemple, a Memphis se van trobar la ciutat pintada de creus que simulaven ser de sang, durant el concert un satanista va pujar a l'escenari amb una daga i l'agrupació local de bruixes es va concentrar a la porta de l'hotel on s'hostatjaven fins que Geezer les va fer fora simulant un encanteri.
"Black Sabbath vol 4" (1972) va tornar a vendre més d'un milió de còpies als EUA arribant a disc d'or en un mes després de publicar-se, es situà al 13 EUA i 8 RU. El disc, molt més sorollós que els anteriors, és absolutament influenciat pel consum de cocaïna i la dependència de les drogues. "Tomorrow's dream" i la balada "Changes" van ser els singles que es van publicar. Les lletres depressives d'aquest disc van induir al suïcidi una infermera britànica, irònicament en la ressenya del disc a la revista People s'hi deia que "hauria d'incloure fulles d'afaitar".
El cinquè LP de la banda fou "Sabbath bloody Sabbath" (1973). El disc va costar deu i ajuda fer-lo per l'addició a les drogues i totes les substàncies psicotròpiques que poden imaginar-se, es van voler aïllar en un castell de Gal·les per poder escriure i compondre les lletres. Evidentment al castell hi van passar coses terrorífiques, veien persones que desapareixien, incendis a l'habitació d'Ozzy... van marxar a la primera nit cames ajudeu-me. La portada és una altra de les històriques del satanisme amb un home atacat per dimonis amb el 666 i censurada a Espanya. Tornava a buscar el costat terrorífic i màgic del rock acompanyant les posades en escena de la banda que eren molt teatrals en aquests aspectes. Els textos parlaven de drogues, morts, apocalipsis i van ser censurats i vetats per les cadenes i emissores la qual cosa va comportar que encara es promocionessin més en el seus concerts. El mateix tema "Sabbath bloody Sabbath" n'és un exemple (Living just for dying, dying just for you) o "Who are you" que es convertí en un èxit en el mercat britànic. Als teclat del tema "Sabbra Cadabra" hi trobem ni més ni menys que Rick Wakeman dels Yes, grups que no tenen absolutament res a veure un amb l'altre. En la gravació d'aquest disc ja comencen les discrepàncies entre Ozzy i Tommy.
A continuació arribaven "Sabotage" (1975) i "Technical ecstasy" (1976) amb singles com "It's alright" un gran tema on canta Bill Ward, "Gipsy", "She's gone" i "Am I going insane", cançó sobre drogues, alcohol i tot aquest món que els envoltava. El 1978, durant la gira d'aquest darrer disc Ozzy deixa el grup temporalment per formar la seua pròpia banda Blizzard of Ozz, nom proposat per son pare, i on destaca el guitarrista Randy Roads. El seu lloc a Black Sabbath l'ocupa Dave Walker.
Quan Ozzy es reincorporà a la banda van gravar "Never say die" (1978) . El disc va ser un fracàs comercial als EUA, no tant al RU ja que els singles "Never say die" i "Hard road" arribaren al 21 i al 33 en llistes. La relació entre Iommi i Ousbourne era ja insostenible i l'abril de 1979 és expulsat del grup amb l'excusa dels seus greus problemes de drogoaddicció... com si la resta de la banda no els tingués. El seu substitut seria Ronnie James Dio, cantant dels Rainbow.
El regnat d'Ozzy en solitari té el punt de partida en un exitós concert a Glasgow el 1980. La carrera comença amb un èxit excepcional amb els discos "Blizzard of Ozz" (1980) i "Diary of a madman" (1981). El cantant no estava disposat a perdre els seus fans diabòlics ni els beneficis comercials que li proporcionaven i a la portada del primer disc apareix disfressat de bruixot amb una creu. Durant la gira del segon disc (que la va anomenar Night of the Living Dead, en la seua línia) li dona per llençar carn crua des de l'escenari, carn que el públic li retornava. Fins que la cosa va començar a anar-se'n de les mans i al concert el públic s'avançava i li llençaven granotes, serps i gats morts. La imatge que crea és una barreja de cantant de heavy metal amb la de protagonista de pel·lícula de terror de sèrie B fins la seua més apoteòsica actuació a Des Moines, Iowa, on un dels assistents i va llençar un muricec viu a l'escenari. Ozzy li arrenca el cap d'una mossegada pensant-se que era una figura de goma i com a conseqüència es va passar una setmana amb injeccions antirràbiques. Però la llegenda ja estava feta. Quan va anar a signar el seu nou contracte amb CBS es va presentar a la sala de juntes de la discogràfica borratxo perdut i amb dos coloms i no se li acudí res més que fotre mossegada al cap d'un, l'escena va quedar immortalitzada en una icònica fotografia històrica.
El van acusar amb tres querelles de provocar el suïcidi d'un jove pel seu tema "Suicide solution", tema del seu primer disc en solitari. Ozzy va declarar que la idea de la cançó era fer conscient de la perillositat de l'abús de l'alcohol després de la mort de Bon Scott dels AC/DC. Ozzy va guanyar els judicis tot i les acusacions de l'advocat d'una de les famílies que l'acusava d'emprar tècniques en la gravació del disc amb freqüències que feia que l'oient no es pogués resistir al que es deia a la cançó i que en el mateix tema s'escoltava el missatge ocult "shoot, shoot, get the gun, get the gun".
La tràgica mort de Randy Roads durant aquesta gira americana del 1982 sembla ser que el frena. Per cert, en aquesta gira no se'ls acudeix res més que birlar una avioneta d'una aeròdrom que van acabar estampant-la contra el bus de la gira i estavellant-la contra una casa provocant dos morts. Amb Brad Gillis de substitut grava el doble directe "Speak of the devil" (1982) amb títol i portada en la seua línia. No el convenç i torna a canviar de guitarra posant a Jake E. Lee que ara sí atrau els fans. Amb "Bark at the moon" (1983) arriba a disc de platí. Però ara li cauen acusacions d'inducció a l'assassinat. La música del tema "Bark at the moon" sembla que va influir al jove canadenc James Jollimore a sortir al carrer amb un ganivet i a assassinar a una dona i els seus dos fills.
Encabat Ozzy va prendre consciència, finalment, i decidí dedicar el temps a fer cures de desintoxicació i per això en el moment més culminant triga tant en treure el següent LP "The ultimate sin" (1986). Aquí Lee deixa la banda per a formar Badlands. Curiosament després enregistra "Tribute" (1987) un disc amb material en directe en homenatge al primer guitarrista amb Zakk Wylde a la guitarra. Superada la seua addició a l'alcoholisme, a finals del 80, Ozzy lluitava per a continuar estant a la cima del heavy metal i el 1991 posa punt i final a la seua etapa satànica, alcohòlica i drogoaddicta amb "No more tears" (1991).
La formació original de Black Sabbath es tornen a reunir el 1997 per dos concerts a Birmingham, els quals s'enregistren i es publiquen amb el nom de "Reunion" (1998) incloent-hi dos temes inèdits d'estudi "Psycho man" i "Selling my soul" on la parella Iommy-Ousborne tornen a signar junts. La cosa els agrada (o els falten quartos, que és el que passa en aquests casos), fan gires junts un altre cop, editen directes i tornen a l'estudi amb "13" (2013) amb un tema apocalíptic sobre l'evolució tecnològica "End of the beggining". A lo tonto es posen al número 1 al Regne Unit. El bateria Bill Ward va haver de deixar el projecte per temes contractuals i va ser reemplaçat per Brad Wilk de Rage Againts the Machine. Osbourne va actuar en directe per últim cop en el concert Back to the beginning, amb la formació original de Black Sabbath al Villa Park de Birminghan el 5 de juliol de 2025.
Poques setmanes després, el 22 de juliol moria Ozzy Ousborne a causa d'una aturada cardíaca, des de que el 2020 li van diagnosticar Parkinson la seua salut se va anar veient agreujada.
El 31 d’agost de 1945, és a dir avui fa 80 anys, moria als 53 anys el matemàtic polonès Stefan Banach a conseqüència d’un càncer de pulmó. Banach ha donat força nomenclàtor al món de les matemàtiques: els espais de Banach, el teorema del punt fix de Banach (que n’haurem de parlar en algun altre article ja que és la base de l’algoritme de funcionament de Google), el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema de Banach-Steinhaus o la paradoxa de Banach-Tarski, de la qual en parlarem avui.
El teorema o paradoxa de Banach-Tarski (duu també el nom del matemàtic polonès Alfred Tarski) és un dels resultats més histriònics de les matemàtiques. Resumidament ens ve a dir que si tenim una esfera i la dividim en un nombre finit de trossos aquests trossos els podem reagrupar de tal forma que podem formar dos esferes iguals que la primera que teníem. El teorema ens està dient que d’una taronja en puc fer dos, és a dir, un més un és igual a un! Absolutament contraintuïtiu. I això que ens pensàvem que els matemàtics són gent rigorosa…
Anem a treure una mica l’entrellat de com funciona tot això. Primer cal dir que és un resultat abstracte i no el podem portar a terme en el món físic, però no deixa de ser un teorema amb la seua demostració. També dir que el resultat funciona en tres dimensions (i més!), és a dir en esferes i, per tant, no el podem aplicar a cercles que són objectes bidimensionals.
La clau és en la manera en com partir la primera taronja a trossos. Aquests trossos no poden ser de qualsevol forma sinó que han de ser trossos no mesurables (aquest és el concepte clau). A grans trets això vol dir que no tenen volum. Aleshores aquests trossos estranys els podem moure i girar sense deformar-los per a formar les dos esferes iguals ja que com no tenen volum definit no té sentit parlar d’una duplicació del volum dins d’aquestes teories no mesurables. I aquí també necessitem l’anomenat l’Axioma d’Elecció, que ens diu que si tenim una col·lecció infinita de conjunts sempre podrem triar un element de cadascun d’ells. Banach-Tarski ho utilitza per triar punts específics que permet construir els conjunt estranys que permeten construir les dos esferes.
En conclusió, no ho proveu de fer a la cuina de casa perquè els préssecs o les taronges que hi tenim si els partim ho farem en trossos amb volums definits i no podem duplicar la matèria del no-res. Tot i no poder aplicar-se al món real aquest teorema sí que s’ha utilitzat per al plantejament de noves preguntes sobre la naturalesa de l’infinit i les teories de la mesura. Tot i que és complicat d’explicar, m’agradaria que l’article d’avui serveixi per a fer veure com de necessari és el caràcter abstracte de la matemàtica, com els matemàtics són capaços de jugar-hi per a treure noves conclusions i divulgant-ho fer que les matemàtiques també tinguin aquest punt de bogeria divertida.
Teorema amb molta literatura
La idea esbojarrada del teorema ha comportat que sigui un dels més coneguts entre el món matemàtic i se n’hagi fet força literatura. Només que feu alguna cerca per la xarxa de seguida hi trobareu contes, acudits, tires còmiques i fins i tot un videoclip amb la base musical del tema Barbra Streisand fet per un grup d’estudiants del grau de Matemàtiques de la Universitat de Copenhaguen.
(Article publicat al Lectura el 31 d'agost de 2025)
Com ja sabeu els lectors i lectores habituals d’aquesta secció, Lo Teorema del mes d’agost m’agrada dedicar-lo a proposar reptes matemàtics variats. Els que us ho proposo avui estan extrets de l’activitat Reptes al Carrer que vam dur a terme des de l’associació Lleimat en col·laboració amb el grup de Matemàtiques al Carrer de la Federació d’Entitats d’Ensenyants de Matemàtiques de Catalunya. Durant tres setmanes del mes de juny una cinquantena de comerços de l’Eix Comercial i la Zona Alta, així com la Biblioteca Pública de Lleida, van exposar un enigma matemàtic al seu aparador. La participació era lliure i mitjançant un codi QR es podia enviar la resposta dels reptes. Els participants que més enigmes van resoldre van ser premiats amb lots de productes i serveis que els mateixos comerços van oferir.
Així que ara preneu paper i boli i us animo a resoldre alguns dels enigmes proposats a Reptes al Carrer:
La matrícula del meu cotxe està formada per quatre xifres. La xifra de les unitats és el doble que la dels milers. La xifra de les desenes és el triple que la de les centenes. La xifra de les unitats és 5 unitats més petita que la de les desenes. Quina matrícula tinc?
Una ampolla i el seu tap valen 1,20 €, quant val l’ampolla si val un euro més que el tap?
La Maria té un germà anomenat Joan. En Joan té tants germans com germanes. En canvi, la Maria té el doble de germans que de germanes. Quants nois i quantes noies són a la família?
Quatre amics es troben un sobre amb molts diners i han fet el següent repartiment: En Joan es queda amb una tercera part. L’Alícia una part de cada quatre. L’Anna dues parts de cada cinc i el Leo es queda 100 €. Quants diners es queda qui se’n queda més?
L’altre dia vaig estar en un mercat de bestiar molt especial, no es comprava ni es venia, només es canviava. Em vaig interessar en els canvis i em van dir que una ovella i una vaca es canviaven per un cavall. Una vaca es canviava per una ovella i per un porc. Tres porcs es canviaven per un cavall. Si jo volia canviar la meua vaca per ovelles, quantes me’n van donar?
Una aranya teixeix de forma que cada dia fa una superfície de teranyina igual a la total teixida fins aquell dia. Si per a fer una teranyina completa ha trigat 30 dies, quant temps hauria trigat a fer la mateixa teranyina si una altra aranya amb la mateixa manera de teixir l’hagués ajudat?
I el darrer el teniu en la imatge que acompanya l’article…
Bona feina!
Solucions
2394
1,10 € (el tap val 10 cèntims)
4 nois i 3 noies
L’Anna es queda 2400 €
2 ovelles
29 dies (les dos aranyes hauran fet la meitat del total)
12 cubs
(Article publicat al Lectura el 3 d'agost de 2025)
Demà s’inaugura a Lleida una nova edició del Congrés Català d’Educació Matemàtica, el C2EM tal i com el coneixem fent servir notació matemàtica. Aquest Congrés potser és l’esdeveniment més important per a la formació dels mestres i professors de matemàtiques de Catalunya i serà la seua tercera edició després de la de Barcelona (2016) i la de Tarragona-Reus (2020).
La trobada està organitzada per la FEEMCAT (Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya) de la qual en forma part Lleimat, l’associació de professors de matemàtiques de Lleida i comarques i de qui ja hem parlat més d’un cop en aquesta secció sobre les moltes activitats que organitza per a impulsar l’estímul matemàtic als joves. El C2EM2025 està adreçat als docents de matemàtiques de totes les etapes educatives, des de l’educació infantil fins a la universitat i la formació d’adults.
El lema escollit és Impulsem l’educació matemàtica. Fer, mirar, pensar. D’acord amb aquest lema i la creixent preocupació pels resultats en matemàtiques de l’alumnat del país, els objectius principals del C2EM2025 són impulsar el creixement professional del professorat i facilitar la transició entre etapes educatives fomentant l’intercanvi d’experiències, inquietuds i recerques d’aula. També es vol millorar l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques des de diferents perspectives, aprofundint en les connexions amb altres disciplines i amb l’entorn. A més, es pretén potenciar la imatge social de les matemàtiques i donar a conèixer els seus objectius educatius actuals, enfortir la creació de xarxes i grups de treball entre docents, i promoure la passió per les matemàtiques a través de la col·laboració. De fet, l’associacionisme en aquesta disciplina és molt nombrós a nivell mundial, amb multitud de cursos, congressos i jornades amb el propòsit de millorar l’educació en aquest àmbit.
Així que, durant aquests 3 propers dies, parlaran de matemàtiques però també gaudiran de la ciutat grans de la pedagogia al costat de més de quatre centenars de mestres i professors. Aprofitant que el congrés es celebra a Lleida s’ha volgut integrar-lo a la ciutat i s’han preparat per als congressistes visites, rutes matemàtiques, diferents activitats relacionades amb la nostra fruita i els vins de la DO Costers del Segre i no podia faltar un tast de caragols. No només de matemàtiques viuen els profes de mates!
El Claudi Alsina, una institució en la pedagogia i divulgació de les matemàtiques i que ens visitarà durant aquests dies, en un dels seus llibres recupera una frase de Barack Obama de l’any 2009 que ens va molt bé per l’ocasió: “Vull que tots els professors de matemàtiques sàpiguen matemàtiques. (...) Vull que sàpiguen com inspirar i involucrar als joves.”
Per a tot el públic
En motiu de la celebració d’aquest congrés a Lleida teniu a la vostra disposició fins el 13 de juliol l’exposició del MMACA Martemàtiques a l’espai IX de l’IEI. I fins al 14 de juliol, al claustre de la Biblioteca Pública hi trobareu Llegim les matemàtiques, una mostra de documents en diferents formats i per a préstec sobre matemàtiques. I a la Sala d’Arts i Patrimoni de la mateixa Biblioteca una mostra de fons patrimonial del s.XIX sobre matemàtiques fins el 30 de setembre. Visiteu-ho, descobriu i gaudiu.
(Article publicat al Lectura el 6 de juliol de 2025)
A mitjans dels anys setanta la banda de rock formada per una guitarra. un baix i una bateria havia quedat petita. El rock simfònic havia obert les portes a fons orquestrals i el consum musical de l'oient s'havia tornat exigent musicalment i va néixer una nova manera de fer música amb sons, harmonies i lletres equilibrades, portades: naixien els supergrups. Queen, ELO, Dire Straits o Supertramp. Un moviment d'origen netament nordamericà que, curiosament, es va desenvolupar al Regne Unit.
Rick Davis volia liderar amb els seus teclats un supergrup d'aquests. Va començar movent-se per Munich amb dos bandes: The Lonely Ones i The Joint, però no eren prou per ell. Poc temps després coneix l'excèntric milionari neerlandès Stanley August Miesager Samque li proposa ser el seu mecenes per a fer de Davies una estrella del món de la música. Però Davies continua amb la seua idea de formar una banda, agafa els quartos del neerlandès i se'n va a Londres. El 1969, allà a Londres, coneix per un anunci que va posar a la revista Melody Maker un altre músic amb les mateixes idees que ell, Roger Hodgson i contracten uns altres dos músics a sou: Richard Palmer a la guitarra i Robert Millar a la bateria. Es van posar el nom de Daddy però Rick havia llegit la novel·la de W.H. DavidAutobiography of a Supertramp i d'aquí decideixen adoptar el nom. Acaba de néixer un dels grans GRUPS (les majúscules són a propòsit) de la història de la música: Supertramp.
El primer disc apareix de seguida, gràcies a A&M Records, i li posen de nom "Supertramp" (1970). En aquest disc s'hi reuneixen totes les noves tendències musicals britàniques, però el gran públic no respon, es foten la santa hòstia a nivell comercial i la banda s'acaba trencant. Fan fora Palmer -que havia posat lletra a molts temes- i Millar i fitxen a Kevin Currie a la bateria, Dave Winthrop a la secció de vent i Frank Farrell al baix.
Amb aquest nou quintet enregistren el seu segon LP "Indelibly stamped" (1971). El disc és molt diferent al primer amb ritmes rockanrollers i una portada suggerent. Tot i els singles "Your poppa don't mind" i "Forever" el disc tampoc ven. El mecenes neerlandès va veure com se li escapaven tots los duros sense cap rendiment, els va tancar l'aixeta i Davies i Hodgson es tornen a quedar sols.
Tanmateix A&M encara confia en ells. Ara agafen a Bob Benberg a la bateria, John Helliwell al saxo i Dougie Thomson al baix. La discogràfica els tanca en una granja en plena campinya anglesa per a què estiguin aïllats i concentrats i d'allí sortirà el seu tercer disc "Crime of the century" (1974) amb una altra icònica portada de la reixa que passaria a formar part de la imatge del grup. La producció va a càrrec de Ken Scott, que havia triomfat amb el Ziggy Stardust de David Bowie, i ho fan tan bé que el disc és número 4 al RU i es col·loca durant setanta-sis setmanes en les llistes de vendes americanes. I la gran acceptació sobretot ve a causa de dos temes. Un és una autèntica joia "Dreamer" amb unes veus i unes melodies que s'entrellacen i l'altra és "School", que no va sortir ni en single però que s'ha convertit en un dels temes més clàssic de la banda.
L'any següent es publica "Crisis? What crisis?" (1975) que ven una mica menys que l'anterior però que els consolida en vendes i en gires mundials. Els temes combinen la veu de Davis ("Ain't nobody but me") i de Hodgson ("Lady", "Sister moonshine"). La portada, com sempre, fabulosa.
Els Supertramp s'estableixen a Califòrnia i adquireixen noves fonts d'inspiració sense perdre el seu aire intel·lectual que tan agradava als seus fans. Així apareix el cinquè disc "Even in the quietest moments..." (1977). El disc arriba a disc d'or, es col·loca al 16 de la Billboard, venen dos milions i mig de còpies en dos mesos a Europa i ara ja els Supertramp són coneguts arreu del món arribant a un nou públic. A&M aprofita per reeditar els discos anteriors. I tot això sobretot gràcies un tema que només va arribar al 15 en llistes americanes però que és un altre clàssic "Give a little bit". També es d'aquest disc "From now on" de Davis i el curiós tancament de "Fool's overture" de gairebé 11 minuts. En aquest tema s'inclouen efectes de so d'una al·locució de Winston Churchill sobre l'entrada del RU a la II Guerra Mundial, sons de cotxe de policia, les campanes del Big Ben, un extracte del "Venus" de Gustav Holst, el poema Jerusalem de William Blake. Segons Hodgson és una suite "mescla d'idees sobre esdeveniments històrics i que cadascú interpreti la cançó a la seua manera". La portada, aquella del piano amb neu. Tothom la coneix.
I ara ja, amb el sisè disc, ho peten tot. Amb "Breakfast in America" (1979) els EUA se'ls fan seus i baten rècords de vendes a punta pala. Número 1 en vendes a mig món (als EUA sí però al RU es va quedar al 3 i doble or a l'estat espanyol), dos Grammys, 30 milions de còpies venudes i un dels discos més venuts dels anys 70. Fan una gira mundial amb 108 concerts i acaben amb 4 concerts al Pavillon de París. A França és el disc d'un grup anglès més venut de tots els temps. El primer senzill va ser "The logical song", la coneguda intro de piano i castanyoles, xiulets i una ràpida successió de paraules esdrúixoles (wonderful, magical, happily, sensible, practical...). El tema "Breakfast in America" dona títol a l'àlbum arriba al 9 RU. "Goodbye stranger" també es col·loca al 15 EUA. Per últim "Take the long way home" arriba al Top 10 EUA. Us enllaço la lectura de l'article que va fer l'Olga Suanya al ChelseaHotel sobre la més que icònica portada del disc relacionada fins i tot amb teories profètiques de l'11S. Dels concerts a París publiquen el directe "Paris" (1980) que continuaria amb bones vendes situant-se al 7 RU i al 8 EUA i amb una nova versió en single del "Dreamer".
"...Famous last words..." (1982) va ser el setè disc d'estudi. Un disc que continuà venent molt bé (5 EUA i 6 RU). És el disc de "My kind of lady" que escriu i canta Davies però sobretot sobretot és el disc de la meua cançó preferida dels Supertramp "It's raining again" tot i arribar només a l'11 EUA i al 25 RU. Davies i Hodgson sempre havien signat les cançons junts encara que les hagués compost un o l'altre, en l'últim disc ja distingien per colors de qui era cadascuna i aquests mal rotllos se van anar fent grans fins que Hodgson abandona el grup per a publicar "In the eye of the storm" (1985) amb un so absolutament similar al de Supertramp amb la qual cosa fa pensar als fans que ell era l'essència de la banda.
Per altra banda, Davies i la resta del grup publiquen "Brother, where you bound" (1985) i la seua dona Sue es converteix en mànager de la banda. L'èxit del disc fou relatiu arribant als llocs 20 i 21 de les llistes EUA i RU i sobretot gràcies al tema "Cannonball", el que va ser el darrer single d'èxit que es va quedar al 28 de les llistes americanes. En definitiva, que el públic se n'adonà que l'essència de Supertramp no eren ni un ni l'altre sinó en el conjunt.
El següent treball "Free as a bird" (1987) va ser un estrepitós fracàs. Davies deixava el rock progressiu per adaptar-se a les noves modes més pop i dance. Ni el single "I'm beggin' you" ni el fitxatge de Mark Hart dels Crowded House van evitar el cataclisme comercial del disc. Després d'una llarga pausa de 10 anys per pair el que havia passat graven "Some things never change" (1997) retornant al seu so clàssic i amb bones cançons com "You win I lose" i "Listen to me please". les vendes no eren les que van arribar a ser però van millorar arribant a disc d'or i platí en diferents llocs.
"It was the best of times" (1999) és un disc en directe gravat al Royal Albert Hall de Londres i del qual s'extreu com a single la versió en directe de "Free as a bird", un dels pitjors temes de la banda i del pitjor disc. A continuació vindria "Slow motion" (2002) amb el que posarien punt final als àlbums d'estudi i es dedicarien entre tots a denunciar-se pels drets d'autor i els royalties.
Rick Davies ha mort als 81 anys víctima d'un càncer de medul·la que li van diagnosticar el 2015.
Ricky Ross, un professor d'escola de Dundee se'n va a Glasgow. Allà coneix a Lorraine McIntosh, una vocalista que acabaria sent la seua parella. Juntament amb el bateria Dougie Vipond, el guitarrista Graeme Kelling, Ewen Vernal al baix i un teclista que venia de fer una gora americana amb Altered Images, James Pride formen els Deacon Blue. El nom és d'un tema del disc "Aja" (1977) dels Steely Dann, un disc que va guanyar el Grammy al millor enregistrament de música no clàssica. Tot això succeïa el 1985.
La banda es dona a conéixer el 1986 gràcies a un cassette que es publica amb bandes emergents de Glasgow on hi participa amb el tema "Take the Saints away". En aquest cassette també hi estaven els Wet Wet Wet.
Amb la solvència de Columbia a les espatlles, els Deacon Blue debuten discogràficament amb "Raintown" (1987) -no podia ser millor nom per un disc d'una banda de Glasgow!- per la porta gran. El primer single va ser "Dignity", un tema melòdic molt recordat pels de la nostra edat quan ens començàvem a aficionar a la música. És un tema que parla sobre la vida digna de les persones i que l'afició del Dundee United ha fet seu, tot i no arribar a una posició molt alta en llistes -31 RU- el single va ser disc d'or i és dels temes que millora amb el temps. El segon single "Loaded" també té un rerefons que parla dels diners. A continuació es publica "When will you (make my telephone ring)" on hi posen les veus els Londonbeat. El quart single va ser "Chocolate girl" -43 RU-. Amb tot això, un milió de còpies i un any i mig en llistes de vendes.
El segon disc va ser "When the world knows your name" (1989) i aquest sí que és un èxit extraordinari que li permet arribar a l'1 de les llistes de vendes. I gràcies sobretot al primer single "Real gone kid" que a RU no va arribar a encapçalar les llistes, però sí a mig Europa, entre elles les de l'estat espanyol. El tema, dedicat a la cantant Maria McKee, és el primer Top Ten del grup -8 RU-. Es va editar en single una versió en directe per al mercat espanyol en una edició especial per a Cadena 40. El segon single fou "Wages day" -18 RU-. El tercer seria "Fergus sings the blues", tema escrit per Ross i Pride. Menys fortuna va tenir "Love and regret" però van estirar l'àlbum fins a un cinquè single, una de les meues favorites "Queen of the New Year" també de Ross i Pride. Amb aquest èxit aconsegueixen posar 250.000 en un concert a Glasgow i la discogràfica els edita "Ooh Las Vegas" (1990) un disc de rareses i cares B. El mercat espanyol acollia molt bé els Deacon Blue i en motiu de la gira s'edita un single amb un "Deacon Blue mix" de 4 temes. I d'una manera ben rara arribaria el major èxit en llistes dels Deacon Blue, a partir d'un EP "Four Bacharach & David Songs" (1990) amb quatre cançons homenatge a Burt Bacharach i Hal David, el tema "I'll never fall in love again" arribaria al 2 de les llistes britàniques.
Amb el tercer disc d'estudi "Fellow hoodlums" (1990) continuaven les bones vendes arribant al 2 de les llistes i mantenint-se durant mig any. El primer single va ser "Your swaying arms", seguit de "Twist and shout" un bon tema i el més exitós del disc que arribaria al 10 en llistes. "Closing time" i "Cover from the sky", un tema amb Lorraine McIntosh com a veu principal, van tenir menys repercusió. Al mercat espanyol va aparéixer un altre tema com a single en una edició especial per a Cadena 40"A brighter star than you will shine".
El quart disc arribaria el 1993 amb el títol "Whatever you say, say nothing". Per tal d'adaptar-se a les noves tendències van comptar amb la producció de Paul Oakenfold i Steve Osborne quedant una cosa menys melòdica i més experimental, alternativa i guitarrera. El primer single "Your town" va esperonar les vendes, el single arriba al 20 de les llistes RU i el disc al 4, però als EUA es fot la gran castanya. Cap dels següents singles extrets tindrien gaire èxit llevat una mica de "Hang your head" que es posa al 20 al RU. Vaja, un drama de disc. Els experiments a casa i amb grasiosa.
Amb tot i això nova i exitosa gira que Columbia aprofita per a publicar un disc de grans èxits "Our town-The greatest hits" (1994), un disc que els fa tornar a l'1 en vendes per segon cop. L'àlbum conté tres temes inèdits, un d'ells "I was right and you were wrong" -32 RU-, per mi dels pitjors de la banda. En acabar les promocions Dougie Vipond abandona el grup per dedicar-se a la televisió i el grup decideix dissoldre's.
Cinc anys més tard i després d'un concert de reunió els Deacon Blue decideixen tornar als estudis i publiquen "Walking back home" (1999) ara amb Sony. El disc és una barreja de temes clàssics i de nous i se n'extreuen com a senzills "Love hurts", un tema popularitzat pels Everly Brothers, Nazareth o Jim Capaldi i la melòdica "Jesus do your hands still feel the rain". A aquest el va seguir "Homesick" (2001) un disc on tornen a les armonies i amb un bon single de promoció "Everytime you sleep", que només aconsegueix el lloc 64.
El 2004 mor a causa d'un càncer de pàncrees el guitarra del grup, Graeme Kelling. Tot i això la banda va continuar i va enregistrar tres temes nous per un nou recopilatori "Singles" (2006) amb el tema "Bigger than dynamite" com a únic senzill promocional amb poquíssima repercusió. El grup no parava en gires i directes i amb el single "The hipsters" s'anunciava un nou disc "The hipsters" (2012). El setè disc seria "A new house" (2014) quedant únicament Ross, McIntosh, Prime i Vipond i amb temes com "Win".
Després d'anys passant desapercebuts amb "Believers" (2016) tornen a ressuscitar en llistes d'èxit britàniques gràcies a temes com "The believers", "This is a love song" o "Gone". I encara gravarien després "City of love" (2020), "Riding on the time of love" (2021) i "The great western road" (2025), aquest últim aonseguint un no menyspeabre lloc 3 en llistes britàniques amb "Late 88" un tema del guitarrista escocès Gregor Philp que s'incorporà a la banda.
El teclista i professor de la University of West of ScotlandJames Pride ha mort d'un càncer als 64 anys deixant el llegat d'una de les bandes més venedores a Escòcia, els autors de "Dignity" escollida com la millor cançó feta a Escòcia i una de les primeres bandes que me va encantar quan jo era jove amb els cors de Ross i McIntosh... fa dies d'això.
Tal dia com avui de fa 388 anys, és a dir, el 8 de juny de 1637 es va completar la impressió d’un dels llibres essencials tant de la història de les matemàtiques com de la filosofia, el Discours de la Méthode de René Descartes. Aquesta obra inclou l’important apèndix La Géométrie on es formalitza una nova manera de treballar la geometria a partir de l’àlgebra. És a dir, a partir d’aquesta nova geometria cartesiana o analítica s’estudia la geometria sense necessitat de dibuixar, es fa ús de l’àlgebra per a la resolució de problemes geomètrics. L’any 1999 la Societat Catalana de Matemàtiques i l’Institut d’Estudis Catalans va publicar una excel·lent traducció al català a càrrec dels professors Josep Pla i Pelegrí Viader.
Aquesta nova forma de treballar la geometria es basa en el seu sistema que va idear, el conegut sistema de coordenades cartesianes (de Descartes). Feia més d’un segle que els pintors usaven punts de referència i quadrícules a les seues obres per a situar les parts dels seus quadres, Descartes va agafar aquesta idea i la va combinar amb l’aritmètica: va anomenar origen de coordenades al punt on es tallen dos rectes perpendiculars i a partir d’aquí cada punt d’un pla queda perfectament definit amb un parell de nombres. A la recta (eix) horitzontal el va anomenar X i a l’eix perpendicular vertical el va anomenar Y i fent divisions sobre aquests eixos va construir una quadrícula de tal forma que si partim del punt origen (0, 0) i ens movem un quadrat cap a la dreta anem al punt anomenat (1, 0), si de l’origen ens movem un quadrat cap amunt ens situem al punt (0, 1), si ens movem un cap a l’esquerra anem al (-1, 0) i si ens movem un avall és el punt (0, -1). Fixeu-vos que el primer nombre del parell indica la posició horitzontal (X) i el segon la posició vertical (Y). Els punts de la dreta de l’origen tenen X positiva i els de l’esquerra X negativa, els de dalt Y positiva i els de baix Y negativa. D’aquesta manera el punt (-3, 1) és un punt situat 3 a l’esquerra de l’origen i 1 amunt. Aquest novedós sistema és utilitzat avui en dia per a situar posicions en mapes i plànols, i adaptat a la geometria esfèrica per a situar punts sobre la Terra i poder usar el sistema de posicionament globals via satèl·lit (GPS). A partir d’aquí Descartes va començar a donar forma d’equació a les rectes i a estudiar algebraicament la geometria que tant havia desenvolupat Euclides. Molts matemàtics abracem aquesta geometria ja que pensem que “La geometria és l’art de pensar bé i dibuixar malament” com va sentenciar Henry Poincaré encertadament.
S’explica que Descartes va idear aquest sistema de posicionament mirant una mosca al trebol del seu dormitori mentre ell estava en posició horitzontal al llit. La seua fràgil salut durant la infantesa va provocar que tingués predilecció per aquesta postura i durant aquestes llargues estones al llit dedicava moltes hores a pensar (cogito ergo sum). El 1649 la reina Cristina de Suècia el va contractar per a rebre lliçons de filosofia i matemàtiques a les 5 de la matinada. El fred suec i massa hores de treball massa matiner va acabar amb ell amb només 53 anys.
Un epíleg fonamental
No gosaré a dir que l’epíleg és la part més important del seu Discurs ja que el professorat de Filosofia no hi estaria d’acord, però a part de desenvolupar la geometria analítica s’hi proposa l’ús de la x, y i z com a incògnites, a, b i c per a quantitats determinades, utilitza per primer cop l’exponent per a les potències i proposa el terme imaginari per a les arrels quadrades de nombres negatius.
(Article publicat al Lectura el 8 de juny de 2025)
Avui dia 11 de maig és dia de festa grossa a la ciutat de Lleida ja que es celebra la festivitat de Sant Anastasi, patró de la ciutat des del 7 de gener de 1627 quan ho va aprovar la Paeria. Sant Anastasi va ser legionari i fou santificat, entre d’altres, pel Miracle del Pou del qual va fer brollar aigua per satisfer la set dels seus companys quan tornava a Lleida amb ells perseguit per l’emperador Dioclecià. A SantAnastasi no se li coneix cap mèrit matemàtic i la veritat és que de sants i matemàtics alhora pocs en podem trobar. Tanmateix, això no vol dir que els matemàtics no siguin bona gent, que en el món dels matemàtics també hi ha de tot.
Anatoli d’Alexandria va ser un bisbe de Laodicea (actual Turquia) que cap allà al s.III va escriure deu llibres d’aritmètica i gràcies a aquest llibres trobem el primer sant interessat per les matemàtiques, Sant Jeroni (s. IV) qui als seus llibres fa referència als tractats d’Anatoli. En diferents iconografies es pot veure a Sant Jeroni amb estris de mesura i llibres d’aritmètica. Un altre sant amb interessos matemàtics fou Sant Isidor de Sevilla (s. VI-VII) qui va escriure molt sobre gramàtica i teologia però a les seua principal obra Etimologies, que és un tractat de cultura general, dedica el seu tercer capítol a les matemàtiques.
Qui no ha arribat a sant perquè s’ha quedat en beat ha estat el mallorquí Ramon Llull, molt conegut en les nostres contrades per les seues obres literàries però l’Ars magna (1305) és una obra que va influenciar a grans matemàtics com Leibniz i al rei de la matemàtica recreativa Martin Gardner pel mètodes lògics i geomètrics que feia servir Llull.
Però potser el més important dels que han tingut contacte diví va ser l’occità Gerbert d’Orlhac (945-1003) que no va arribar a sant però sí a Papa (Silvestre II). Format als comtats precatalans gràcies al comte Borrell II i al bisbe Ató de Vic va aprofundir sobretot en l’estudi de les matemàtiques. Destaquen textos seus de geometria basats en la geometria egípcia i en el quals s’hi descriuen procediments per a determinar altures, distàncies i profunditats. Estant a Reims va construir un nou model d’àbac amb 27 compartiments i 9 fitxes que avui es considera una primera màquina manual de calcular. En aquest àbac va fer servir les xifres hindoaràbigues i és que D’Orlhac va ser un dels primers impulsors de l'ús d’aquestes xifres tal i com les fem servir avui en dia (llevat del zero que per simbolitzar-lo deixava un espai en blanc) deixant enrere el complicat sistema romà i representant un gran avenç per al càlcul. També era molt aficionat a l’astronomia i al seu ensenyament utilitzant esferes i altres estris per a facilitar-ne la comprensió i alguns autors consideren que D’Orlhac va ser el precursor de la introducció de l’astrolabi a Europa, un instrument de càlcul astronòmic. D’Orlhac va ser la llum de la ciència enmig de l’arribada de l’any 1000 ple de presagis apocalíptics, com allò que vam anomenar l’efecte 2000 però 1000 anys enrere.
Silvestre II
La tomba del papa Silvestre II es troba a la basílica papal de Sant Joan del Laterà, la catedral de Roma però que pertany al Vaticà. La llegenda diu que quan l’estàtua del papa matemàtic sua i cruix vol dir que el papa està a punt de morir. La curiosa barreja dels mites i les matemàtiques.
(Article publicat al Lectura l'11 de maig de 2025)
.jpg)
.JPG)
