El teorema dels 4 colors

Si vostè té canalla en algun moment li haurà tocat pintar el mapa de les comarques catalanes. Quants colors diferents necessita per pintar-lo? Amb un no en tindrà prou, ni amb dos tampoc. I amb tres colors? Per exemple si pintem el Pla d’Urgell de verd, la Noguera i les Garrigues les podem pintar de groc i el Segrià i l’Urgell de blau, amb tres colors en tindríem prou. I el Pla de l’Estany? Si el pintem de groc, la Garrotxa i el Gironès les hem de pintar de colors diferents perquè limiten totes entre elles, per tant ja necessitem tres colors. I quan pintem l’Alt Empordà necessitarem un altre color perquè té frontera amb les tres comarques anteriors. Necessitem quatre colors. Però en tindríem prou amb quatre colors per a pintar qualsevol mapa per recargolat que sigui? Això es preguntà fa 150 anys Francis Guthrie pintant un mapa dels comtats d’Anglaterra. Mogut per la curiositat ho comentà al seu germà, el físic Frederick Guthrie qui ho traslladà al seu profe de matemàtiques, Augustus de Morgan. Aquest no mostrà gaire interès i s’encarregà de difondre-ho a Hamilton, un altre matemàtic, i al filòsof William Whewell. El problema dels colors creuà l’Atlàntic i Charles Sanders Peirce digué que tenia una demostració... però no l’arribà a escriure.

Un altre il·lustre de les matemàtiques, Arthur Cailey, l’any 1878 el presenta a la London Mathematical Society. El problema queda obert amb l’enunciat “tot mapa pla pot pintar-se amb, com a màxim, quatre colors amb la condició que regions amb frontera comuna tinguin colors diferents”. L’any 1879 Arthur Kempe va publicar una demostració... semblava que el problema estava resolt... però l’any 1890 Percy Heawood hi trobà una errada. El problema es començà a fer molt famós i cap matemàtic aconseguia donar-ne una demostració vàlida. Fins i tot l’arquebisbe de Canterbury Frederick Temple amb il·luminació divina gosà publicar una demostració que també resultà errònia, i Lewis Carroll l’usava per plantejar enigmes matemàtics.

Al segle XX es comença a pensar en els ordinadors per trobar aquesta demostració. El matemàtic alemany Heinrich Heesch fou el pioner fent servir la programació en Algol 60. Finalment, l’any 1976 Kenneth Appel i Wolfgang Haken van anunciar oficialment que “amb 4 colors n’hi ha prou”. La demostració es feu en un ordinador IBM 360 i ocupà 1.200 hores de processament de dades (50 dies!). Tot i que hi havia molt escepticisme entre la comunitat matemàtica en el fet que una demostració no es podia fer per ordinador, cal afirmar que aquesta fou la primera prova de la conjectura. A partir d'aquí n'han sorgit més: Robertson, Sanders, Seymour i Thomas (1996), Ashay Dharwadker (2000), Werner i Gonthier (2004), Ibrahim Cahit (2006).

Fixin-se com a partir d'un problema teòricament simple com és pintar un mapa va haver 100 anys de matemàtica i matemàtics treballant en això. Però vostè es preguntarà si tot això ha servit per alguna cosa més... i tant! Gràcies a això s'ha desenvolupat l'anomenada teoria de grafs, gràcies a la qual pot llegir aquest article, té llum i gas a casa i pot fer cerques per Google.

(Article publicat al Segre Lectura el 22 de gener de 2017)

El Messies és nat

El 25 de desembre de 1642 nasqué el Messies, el fill de Déu. Aquell dia a Woolsthorpe va veure la llum per primer cop el matemàtic, físic i astrònom Isaac Newton. Fill d’una família pagesa, cosa que ha motivat llegendes sobre mançanes i el seu cap, i orfe de pare pogué estudiar al Trinity College de Cambridge gràcies a un sistema públic d’ajudes financeres. El xiquet era força espavilat en matemàtiques, ho era tant que amb només 26 anys ocupà la Càtedra Lucasiana de Matemàtiques de la Universitat de Cambridge. El seu professor, Isaac Barrow, hi renuncià per ell. Amb 30 anys fou escollit membre de la Royal Society, l’entitat científica de més prestigi, que presidí a partir de 1703. També tingué temps de ser membre del Parlament anglès i de dirigir la Casa de la Moneda de Londres amb un magnífic sou.

Potser creuran que he exagerat una mica al començament de l’escrit però mirin què deia el poeta Alexander Pope «La natura i les seues lleis jeien ocultes en la nit; Déu digué “que sigui Newton” i tot es va fer llum.» I és que la seua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) podria ser el llibre més important de la història de la ciència. Com Newton era reticent a explicar els seus coneixements -va cremar moltes anotacions seues- l’obra es publicà gràcies a un astrònom amb nom de cometa, Edmund Halley, que el va convèncer. El mateix Halley digué sobre Newton: “cap mortal pot atansar-se més als déus”. Curiosament, també un 25 de desembre, en aquest cas de 1758 s’observà el cometa Halley confirmant les seues teories sobre la freqüència del cometa.

Newton fou el creador del càlcul diferencial -l’anomenà càlcul de fluxions-, una de les grans fites de la matemàtica. Va haver de competir amb Gottfried W. Leibniz per veure qui fou el primer. Com passa en política, s’arribà a crear una comissió especial a la Royal Society per avaluar el tema i fou resolt amb un contundent «Isaac Newton és l’inventor del nou càlcul». Sospito que el fet que Newton fos president de la Royal va tenir alguna cosa a veure. Aquest nou càlcul infinitesimal és fonamental en enginyeria: pel càlcul de la velocitat i l’acceleració del moviment d’un punt material, la velocitat de reacció d’una reacció química, la intensitat de corrent elèctric, el centre de gravetat d’un cos o per determinar la forma d’un recipient de tal manera que amb un volum fixat tingui el menor cost possible.

Les tres lleis de la mecànica de Newton juntament amb la llei de Gravitació Universal han servit durant segles per estudiar el moviment d’una pilota que cau per una rampa o la del Meteosat que orbita al voltant de la Terra.

En òptica, Newton descobrí que un raig de llum blanca es pot descompondre en una combinació de colors, com la famosa portada del Dark side of the moon de Pink Floyd. És el mateix fenomen que fa aparèixer l’arc de Sant Martí. També construí el telescopi reflector, basat en miralls lleugers enlloc de lents pesades. Els seus experiments sobre la llum van portar Newton a clavar-se una agulla al globus ocular per experimentar a veure què passava. Tot i això dedicà menys temps a les investigacions científiques que als estudis teològics.

Morí als 84 anys i és enterrat a l’abadia de Westminster amb la inscripció «Congratulem-nos els mortals que hagi existit tal i tan gran ornament de la raça humana». Vaja, que padrins no li’n feien falta, no.

(Article publicat al Segre Lectura el 25 de desembre de 2016)

El 2017

Quines coses no trobarà en cap altre lloc sobre aquest 2017? En aquest article sobre l'any que ens espera no mencionaré ni el referèndum, ni els fanalets ni les lluites de galls de Podemos. Però parlaré del 2017.

• El primer que cal dir és que 2017 és primer. No teníem un any primer des de 2011=2017+(2-0-1-7) i el proper serà 2027=2017+(2+0+1+7). Aprofitem-lo. A més, 17 i 7 també són primers. Un parell de nombres són primers sexy si són de la forma p i p+6, i com 2011+6=2017, el 2017 és sexy. Que guai!
• Si multipliquem i arrodonim 2017*pi i 2017*e dóna 6337 i 5483, que també són primers.
• La suma de tots els primers imparells fins el 2017 també dóna un nombre primer: 283079.
• Ara restem primers consecutius de dos en dos fins el 2017, elevem al cub i fem la suma. És a dir: (3-2)³+(5-3)³+...+(2017-2011)³=258569 també dóna primer. I parlant de cubs, 2017=1³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³. També amb cubs de primers 7³+7³+11³=2017. De fet, combinacions de cubs i quadrats n'hi ha vàries:

@pickover @CutTheKnotMath @solvemymaths @MarcAbrahams Happy Prime Year 2017 - Power Representations pic.twitter.com/G16w9198oG

— INDER JEET TANEJA (@IJTANEJA) 31 de desembre de 2016

• Aquesta és molt bona: si poses un 7 entremig dels dígits de 2017, els números 27017, 20717, 20177 són també primers. I 20170123456789 també és primer.
• El 2017è nombre primer és 17539. Doncs 201717539 també és primer.
• L'arrel cúbica de 2017 amb 8 decimals és 12,63480759... en la qual hi apareixen tots els dígits del 0 al 9.
• 2017=2¹¹-31, on 31 és l'onzè nombre primer.
• 2017 és la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets 792 i 1855, ja que 2017²=792²+1855². A més 2017²=4068289 on 4+0+6+8+2=20 i 8+9=17.
• Diuen que 2017 serà un any 10, ja que 2+0+1+7=10. L'últim any 10 primer fou el 1801 i el proper serà el 2053.
• Si fem servir les primeres xifres de pi: 2017=314*1*5+(92+6)*5-35-8. El 2017 apareix en la posició 8896 dels decimals de Pi.
• Amb sets: 2017=7⁰+7¹-7²-7³+7⁴
• Amb sets i uns: 2017=1+7(1-7(1+7(1-7))).
• El 2017 és un nombre lazy caterer. Aquests números indiquen la quantitat de trossos en què podem tallar una pizza circular mitjançant talls rectes sense que tres talls passin per un mateix punt. El 2017 correspon a 63 talls de ganivet.
• 2017=(10*9*8*7*6)/(5+4+3+2+1)+0! amb els dígits del 0 al 9.
• Hi ha una simetria molt xula amb el 2017:

@pickover @CutTheKnotMath @MarcAbrahams : Mirror Looking and Upside Down pic.twitter.com/UsaBN8z174

— INDER JEET TANEJA (@IJTANEJA) 30 de desembre de 2016

• Sumatori de potències:

pic.twitter.com/vt4qTOaBzI

— solve my maths (@solvemymaths) 30 de desembre de 2016

• Combinacions amb els dígits del 2017 per aconseguir els números de l'1 al 10:

@solvemymaths :-) pic.twitter.com/x8Cab6SDQS

— Silvia a la Quinta (@squintas) 30 de desembre de 2016

• També hi ha 2017 combinacions possibles de poliominós convexos d'ordre 8. En aquest article del David Orden ho explica de manera clara.
• Per acabar, la genial manera que té Wolfram Alpha de felicitar-nos l'any nou:

L'any en què ens hem entretingut llençant ampolletes d'aigua

El 2016 ha estat un any complicat. Crec que tots ho són de complicats, però com sembla ser que l'imaginari és aquest doncs no seré jo qui el desfaci. 

Començàvem l'any nerviosos amb la CUP perquè com sempre passa mai no sabem ben bé què faran quan han de fer coses. Van fotre el Mas a "la paperera de la història" i entre els uns i les altres se van treure de la butxaca l'alcalde de Girona per ser president de la Generalitat. Amb això del procés no guanyarem per sustos, llàstima que gent catalanista com la Muriel Casals, el Ramon Llumà, mossèn Ballarín o el Jordi Carbonell ja no podran veure el "referèndum sí o sí" -diacrític- aquest famós familiarment conegut com a RUI -un dels neologismes d'aquest any-. Si fins i tot ni el campanar de Rosselló no va poder aguantar l'emoció del moment! Ni David Bowie. Clar que com "les hemos destrozado la sanidad pública" tal com deia Jorge Fernández Díaz i aquell senyor que dirigia Antifrau, sí an-ti-frau han llegit bé, no m'estranya que enguany s'hagi mort tanta gent. Però bé, aquest no era el problema, el problema gros eren les estelades del Camp Nou, allò sí que generava violència. On va a parar! Tothom estava tant a favor de prohibir les estelades que aquest 11-S a Lleida érem menys gent que en un partit del Camp d'Esports post-Idiakez. La Paeria ens va comptar un per un. I no m'estranya que siguem tan poquets si a poc a poc van detenint a tothom per fer-los passar pel jutjat, que si la Forcadell, que si la Montse Venturós, que si el Joan Coma... Sembla com si Blas Piñar no s'hagués mort encara. I sinó que li preguntin a Pedro Sánchez, que sent com era, encara era vist massa progre i tot. Qui tampoc ho podrà veure és la Rita Barberá ni el Fidel Castro.

A Lleida hem tingut alguns casos de crònica negra amb dos assassinats a Alfarràs i a Albatàrrec. I un pobre xiquet de l'Albi a Bangkok. Amb tot això la novel·la negra s'ha posat de moda i es creà el festival "El Segre de negre". També hi va haver okupes a la UdL que segurament protestaven pel cartell de la Festa Major de maig i no pas per les classes de la Imma Manso. O potser era una quedada del Pokémon Go, vagi vostè a saber. També hem tingut un any mogudet amb l'afer Sixena on l'historiador Alberto Velasco s'ha convertit en una nova espècie d'Indíbil o de Mandoni del Museu de Lleida davant les tropes del jutjat d'Osca. I amb els noms franquistes als carrers, que sí, que després de 41 anys encara n'hi ha tot i que no s'ho puguin creure. L'equip de govern de la Paeria va passar la pilota a una "comissió d'experts" mentre ells feien un manequin challenge i els altres estàvem distrets amb el campeonato de morcilla de les Festes de Tardor.

I és que el món el tenim ben boig. Entre el drama dels refugiats, les allaus d'atemptats a Brussel·les, Niça, Berlín, Orlando, Istambul, Bagdad i Munich i el cop d'estat a Turquia hem après, o hem hagut d'aprendre a conviure amb imatges colpidores i immediates amb Periscope. Però els que ho han de solucionar, ja veuen, amb les empreses off-shore -un altre neologisme- de Panamà o votant Donald Trump. A Anglaterra amb el tema del Brexit ho va pagar la diputada laborista Jo Cox. Així que si no ens hi posem nosaltres els altres no ho faran. Hem demostrat que som capaços de destronar una estàtua eqüestre de Franco al Born mentre altres es despistaven cantant "I have a pen, I have an apple...". Però vaja, que després passa el que passa i som com som i el tema de conversa habitual acaba sent la cobra del David Bisbal a la Chenoa. Al món hi ha mala llet i ja no pots dir ni caranchoa a ningú.

Esportivament es van celebrar els JJOO a Brasil amb la gimnasta Simon Biles com a gran heroïna de Rio 2016, al final devien ensulfatar bé per allò del zika però la van pifiar amb la depuració de la piscina perquè l'aigua se va fotre tota verda, no es podien banya ni amb burquini -una altra paraula nova-. Ui, però a Lleida amb el futbol sí que hem estat entretinguts. Se veu que la millor plantilla que hem tingut en els últims 15 anys o més se'ns va plantificar a un play-off d'ascens, i sense cobrar tu. El fatídic penal a Sevilla ens va deixar a les portes de 2A. I a partir d'aquí, no sé què va passar al club que van muntar allà dins el rosari de l'Aurora. Gairebé tota la plantilla va fotre el camp, i no de bones ganes no -encara roden denúncies-. L'afició també va fotre el camp, uns voluntàriament, uns altres persuadits des de l'entorn de la directiva i altres vetats directament. Les penyes van ser declarades il·legals i el Gol Nord sectoritzat. Però, ei, que tot això estava previst en el full de ruta. La penya Molo Esportiu en va ser la primera víctima, EPD. També hem vist un cas socialment remarcable, Éric Zárate només durava 24 hores al Lleida Esportiu després d'una mala gestió de les xarxes socials. Si tothom que gestiona malament les xarxes socials hagués de plegar més tranquils estaríem. Sort que el Bo Yang ens ho arreglarà tot, eh? I si cal fotre les culpes a algú ho pot fer a les ones gravitacionals per exemple o a l'incendi de la Guingueta.

Si posem la ràdio per no pensar en tots els desastres, que si el terratrèmol d'Itàlia, l'accident de Freginals, les històries dels abusos dels Maristes o la pocavergonya del pare del cas Nadia, i ens posem a escoltar el futbol ja no podrem sentir els comentaris arbitrals de José Francisco Pérez Sánchez, ni l'anàlisi de Gaspar Roseti per recordar Johan Cruyff, Cesare Maldini i Dalian Atkinson. Ni els combats de Muhammad Alí ni les gestes muntanyeses de Nil Bohigas ni les curses del Luis Salom. Fins i tot l'últim dia ens deixava Ramon Farrús, president de l'At. Segre. I que si volem escoltar musiqueta a la ràdio ja no serà igual sense Glen Frey (Eagles), David Bowie, Natalie Cole, Black, George Martin, Maurice White (Earth, Wind Fire), Prince, Paul Kantner (Jefferson Airplane), Manolo Tena, Keith Emerson (ELP), Prince Buster, Rick Parfitt (Status Quo), George Michael, Jordi Garrós (Bars), Papa Wemba, Leon Russell, Leonard Cohen, José Luis Armenteros, Pete Burns (Dead or Alive) o Billy Paul.

En el món del cinema i la tele recordarem Ignacio Salas, Alan Rickman, Carle Flavià, Chus Lampreave, Julià Peiró, Miguel de la Cuadra Salcedo, Bud Spences, Carles Velat, la Veneno, Zsa Zsa Gabor, Carrie Fisher i el Manuel d'hotel Fowlti, I si no ens entretindrem llegint Umberto Eco, Carles H Mor, Víctor Mora i Dario Fo. També se pot dedicar a llegir les cançons de Bob Dylan, premi Nobel de Literatura, el llibre "Blau al firmament" o a contemplar escultures del Benet Rosell. I si tampoc els convenç aquesta lectura es pot dedicar a estudiar topologia dels materials, temàtica dels Nobel de Química i Física o els descobriments de Vera Rubin, que injustament se n'ha anat sense Nobel i els del planeta Proxima b del Guillem Anglada-Escudé. I tot això si el doctor Barraquer li va deixar ben arreglada la vista.

Vaja, que tampoc ha estat un any per llençar coets, no.