La visió matemàtica del 2016

Com el 2016 l'he començat amb molta mala hòstia i en les sobretaules ja no apareix el Rivera ni el Rajoy sinó l'Anna Gabriel vaig a relaxar-me parlant de matemàtiques fent l'habitual article sobre el 2016. Bé, vull dir article habitual sobre l'any en què entrem perquè sobre el 2016 no l'he fet mai.

Quines coses podem dir del 2016?

• Primer la descomposició factorial: 2016=2⁵*3²*7. Que si ho vol escriure només fent servir dosos i cincs: 2016=2⁵*(5-2)²*(5+2). És un múltiple de 16 que conté el 16 en la seua expressió, no passava des del 1696. A més 2016 és el número de divisors que té la suma dels 47 termes primers de la successió de Fibonacci.

• 2016 és la suma dels 63 primers nombres naturals, és a dir, és un nombre triangular de 63 files: 2016=1+2+3+4+5+...+61+62+63. L'anterior va ser el 1953 i no tornarà a passar fins el 2080. Gaudeixi'l que potser no en viurà cap més! També és un nombre hexagonal, els nombres hexagonals són de la forma 2n²-n i en cas del 2016 n=32: 2016=2*32²-32. El proper any hexagonal serà 2145. I per últim també és icositetragonal (de 24 costats) perquè pot posar-se de la forma (22n²-20n)/2 si n=14.

• I encara més, 2016=1²-2²+3²-4²+...-62²+63³.

• Amb arrel: 2016=√(1³+2³+3³+...+61³+62³+63³)

• També el podem posar com una suma de potències de dos, que això no té cap mèrit perquè tots els nombres poden posar-se com a suma de potències de dos, el que passa és que el 2016 la suma és de potències consecutives: 2016=2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰.

• Això té relació amb el seu número en binari: 2016=111111000000₂.

• També combinant les potències de dos: 2016=2¹¹-2⁵ i 2016=2^6-1*(2⁶-1). 

• El 2016 també és suma de cubs consecutius: 2016=3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³.

• Però també es pot posar com una altra combinació de cubs: 2016=2³+4³+6³+12³.

• I ara ho compliquem més amb una combinació de quartes potències: 2016=11⁴-10⁴-9⁴+8⁴-7⁴+6⁴+5⁴+4⁴+3⁴-2⁴-1⁴.

• Una altra combinació en potències: 2016=2*(3²+3³+3²⁺³+3^2*3).

• Una combinació amb factorial seria 2016=2*7!/5.

• I amb doble factorial: 2016=9!!+8!!+7!!+6!-5!-4!+3!-2!+1!+0!.

• Ara amb combinacions de nombres:
• 2016=666+666+666+6+6+6 (any diabòlic, ja ho hem notat)
• 2016=888+888+88+88+8+8+8+8+8+8+8+8 (noti que hi ha vuit vuits).
• 2016=999+999+9+9.
• 2016=888+666+444+8+6+4.
• 2016=999+777+99+77+9+7+9+7+9+7+9+7.
• 2016=1234+567+89+123+1+2.
• 2016=1234+5+678+90.
• 2016=987+654+321+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1.
• I en aquest enllaç 78 maneres més d'escriure el 2016 utilitzant els nombres de l'1 al 9 ordenats.

• Ara anem a la geometria, i és que 2016 és l'àrea d'un triangle en què les longituds dels costats, el radi de la circumferència inscrita i el radi de la circumferència circumscrita són nombres naturals.En aquest cas correspon a un triangle de costats 32, 126 i 130 amb inradi 14 i circumradi 65. Aquí teniu la construcció en Geogebra.

• Més complicat d'imaginar és el fet que 2016 és el nombre d'hipercubs 5D que hi caben en un hipercub 9-dimensional.

• El número 2016 és la menor constant màgica que té un quadrat màgic 8*8 les entrades del qual són nombres primers consecutius (gràcies @Gaussianos). Són tots els nombres primers entre el 79 i el 439:

• I si en una assemblea de 64 persones en volem escollir dos sense importar en quin ordre escollim... quants combinacions diferents tindrem? Doncs sí, 2016.

• El 2016 és un any on el febrer tindrà cinc dilluns, això no passava des del 1988 i no tornarà a passar fins el 2044.

En definitiva, els desitjo molta felicitat, cadascuna de les 24 hores dels 7 dies de la setmana i els 12 mesos de l'any: 24*7*12=2016.