El 31 d’agost de 1945, és a dir avui fa 80 anys, moria als 53 anys el matemàtic polonès Stefan Banach a conseqüència d’un càncer de pulmó. Banach ha donat força nomenclàtor al món de les matemàtiques: els espais de Banach, el teorema del punt fix de Banach (que n’haurem de parlar en algun altre article ja que és la base de l’algoritme de funcionament de Google), el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema de Banach-Steinhaus o la paradoxa de Banach-Tarski, de la qual en parlarem avui.
El teorema o paradoxa de Banach-Tarski (duu també el nom del matemàtic polonès Alfred Tarski) és un dels resultats més histriònics de les matemàtiques. Resumidament ens ve a dir que si tenim una esfera i la dividim en un nombre finit de trossos aquests trossos els podem reagrupar de tal forma que podem formar dos esferes iguals que la primera que teníem. El teorema ens està dient que d’una taronja en puc fer dos, és a dir, un més un és igual a un! Absolutament contraintuïtiu. I això que ens pensàvem que els matemàtics són gent rigorosa…
Anem a treure una mica l’entrellat de com funciona tot això. Primer cal dir que és un resultat abstracte i no el podem portar a terme en el món físic, però no deixa de ser un teorema amb la seua demostració. També dir que el resultat funciona en tres dimensions (i més!), és a dir en esferes i, per tant, no el podem aplicar a cercles que són objectes bidimensionals.
La clau és en la manera en com partir la primera taronja a trossos. Aquests trossos no poden ser de qualsevol forma sinó que han de ser trossos no mesurables (aquest és el concepte clau). A grans trets això vol dir que no tenen volum. Aleshores aquests trossos estranys els podem moure i girar sense deformar-los per a formar les dos esferes iguals ja que com no tenen volum definit no té sentit parlar d’una duplicació del volum dins d’aquestes teories no mesurables. I aquí també necessitem l’anomenat l’Axioma d’Elecció, que ens diu que si tenim una col·lecció infinita de conjunts sempre podrem triar un element de cadascun d’ells. Banach-Tarski ho utilitza per triar punts específics que permet construir els conjunt estranys que permeten construir les dos esferes.
En conclusió, no ho proveu de fer a la cuina de casa perquè els préssecs o les taronges que hi tenim si els partim ho farem en trossos amb volums definits i no podem duplicar la matèria del no-res. Tot i no poder aplicar-se al món real aquest teorema sí que s’ha utilitzat per al plantejament de noves preguntes sobre la naturalesa de l’infinit i les teories de la mesura. Tot i que és complicat d’explicar, m’agradaria que l’article d’avui serveixi per a fer veure com de necessari és el caràcter abstracte de la matemàtica, com els matemàtics són capaços de jugar-hi per a treure noves conclusions i divulgant-ho fer que les matemàtiques també tinguin aquest punt de bogeria divertida.
Teorema amb molta literatura
La idea esbojarrada del teorema ha comportat que sigui un dels més coneguts entre el món matemàtic i se n’hagi fet força literatura. Només que feu alguna cerca per la xarxa de seguida hi trobareu contes, acudits, tires còmiques i fins i tot un videoclip amb la base musical del tema Barbra Streisand fet per un grup d’estudiants del grau de Matemàtiques de la Universitat de Copenhaguen.
(Article publicat al Lectura el 31 d'agost de 2025)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada