El 100

Quan cal fer alguna celebració de rememoració d’algun esdeveniment es comença fent al cap d’un any que hagi passat, després potser es commemoren els 2 anys, algunes vegades els 3 anys, rarament es celebren els 4 però sí que es commemoren els 5. A partir d’aquí, no sé per quin criteri, només es celebren o commemoren els múltiples de 5, és a dir, els 10 anys, els 15, els 20 i els 25. Però quan s’arriben als 25 només ens recordem de l’esdeveniment els múltiples de 25, és a dir, dels 25 passem a celebrar els 50 i després els 75 i els 100, però no es celebren els 26 ni els 57 ni els 73 per exemple, nombres als quals els tinc certa simpatia. Sense anar més lluny el 26 està al mig del 25 i del 27, que són un quadrat (25=5×5) i un cub (27=3×3×3) de primers i és l’únic nombre que ho compleix. El 57 se’l coneix com a primer de Grothendieck tot i no ser primer i el 73 popularitzat a la sèrie Big Bang Theory és l’únic primer de Sheldon: 73 és el vint-i-unè (21) nombre primer i 37 és el dotzè (12) nombre primer, que és el revers de 21 que a més compleix que 21=3×7. 

Però tornem al 100, que en base 10 és un quadrat perfecte (100=10×10) i com nosaltres fem servir un sistema de numeració en base 10, pel costum dels homes primitius de comptar amb els dits de la mà, doncs resulta que el 100 té la seua importància. Quan comptem de l’1 al 9 els dígits representen allò que hem comptat, però a partir del 10 les coses les agrupem en uns paquets de 10 unitats anomenats desenes i així el 57 representen 5 desenes (5 paquets de 10) i 7 unitats. Però què passa si tenim 10 paquets de 10 unitats cadascun? Doncs que els posem tots en un sac i l’anomenem centena, perquè resulta que n’hi ha 100. I a partir d’aquí ja podem continuar comptant.

Ja veuen que el 100 ens és molt útil per comptar coses, com en els percentatges (el 100 per 100 és tot) o com en els segles com a unitat de temps. Tanmateix vigileu amb els informàtics perquè allà on nosaltres veiem un 100 ells poden veure un 4. Als Pitagòrics els agradava molt el 100 perquè 100=1³+2³+3³+4³ i hi veien relacions amb la geometria.  

Els 3 primers nombres primers sumen 10 (2+3+5) i els 9=3×3 primers nombres primers sumen 100: 2+3+5+7+11+13+17+19+23=100 i és el quadrat perfecte més petit que és suma de primers primers. Fixem-nos que és la suma dels nombres primers menors que 25, doncs resulta també que hi ha 25 nombres primers menors que 100. El nombre 100×2²¹³-1 és primer, i també ho és 213×2¹⁰⁰-1. Aquest és el parell més petit de nombres de tres dígits amb aquesta propietat.

100 és un nombre de Harshad perquè és divisible per la suma dels seus dígits (1+0+0=1), tot i que en sumar 1 tampoc té molta gràcia perquè tot nombre és divisible entre 1. Però sí desitjo que hagin trobat la gràcia de les matemàtiques en aquestes 100 primeres entregues de Lo Teorema.

El gugol

Un gugol és 10 multiplicat per ell mateix ni més ni menys que 100 vegades. El nombre resultat és d’un u seguint de cent zeros. El nom fou posat pel nebot del matemàtic Edward Kasner i va ser font d’inspiració per un important motor de cerca a la xarxa.

(Article publicat al Lectura el 9 de juny de 2024 commemorant la publicació 100 de Lo Teorema)

Iron Butterfly - In-a-gadda-da-vida

El primer instrument que va aprendre a tocar Douglas Doug Lloyd Ingle va ser l'orgue de l'església on son pare era organista, i a nivell musical sembla que no però això el va marcar. Positivament. El 1966, als 21 anys, a San Diego, s'envolta del bateria Ron Bushy, del baix Lee Dorman i del guitarrista i cantant Erik Braunn i funden els Iron Butterfly. Ingle explica que "volia un nom amb què poguéssim estar a l'altura. Volíem ser bons. El bé consisteix a ser pesat, atapeït; junts, no només musicalment, sinó com a persones. També vol dir ser lleuger, dinàmic, versàtil i original. Vaig afegir totes aquestes qualitats juntes i es va reduir a pesat i bonic. En aquell moment, els noms dels insectes semblaven estar de moda, així que ens vam convertir en Iron Butterfly".

El primer disc publicat va ser de nom premonitori "Heavy" (1968). Doug Ingle escriu el tema "Possession" que es publica com a single, i també surt com a senzill un tema que acabaria aprofitant la banda per donar nom als seus discs de grans èxits "Unconscious power". 

I arriba el segon disc. Un disc històric en el món de la música que ha venut més de quatre milions de còpies i s'ha situat en el catorzè disc més venut dels anys 70. Amb "In-a-gadda-da-vida" (1968) guanyen el primer disc de platí de la història de la música, va ser declarat segon millor disc de l'any 1968 després de la banda sonora de "Hair" i fou el disc més venut d'Atlantic Records fins que van arribar els de Led Zeppelin. La mítica portada dissenyada per Loring Eutemey i Stephen Paley forma part de la història de les portades d'elapés amb la tipografia d'aquella època com la de "Bee Gees 1st", "Layla", "Disraeli gears", "The 5000 spirits" i sobretot me recorda la de l'"Are you experienced?". Però tornem al tema principal d'aquest disc dels Iron Butterfly, "In-a-gadda-da-vida" és un tema de 17 minuts amb puntejats de contrabaix, guitarra, un orgue al més pur estil Doors i un icònic solo de bateria de tres minuts de Bushy. El tema va començar sent una melodia de ball però tot i els seus 17 minuts de seguida se'l van apropiar les emissores de FM de rock fet que va contribuir a que s'edités un single de la cançó de només 3 minuts. Això encara va contribuir més a que el disc es mantingués 140 setmanes en llista de vendes, 81 d'elles al Top Ten. Ingle va compondre el tema en poques hores mentre es bevia una ampolla de vi marca Red Mountain, laa cançó havia de dir-se "In the garden of Eden" -de fet la lletra és una història d'amor entre Adam i Eva-  però durant la gravació del disc amb els músics entaforats d'alcohol i altres substàncies no gaire catòliques van anar difuminant les paraules mentre tocaven fins quedar-se aquest títol. Però amb tot i això una suite de l'època convertida en un hit milionari i que va provocar que moltes bandes s'atrevissin a deixar els clàssics tres minuts en els temes musicals. En aquest disc hi trobem 5 temes més originals del grup i però amb estil més pop: "Most anything you want", "Flowers and beads", "My mirage", "Termination" i "Are you happy".

Amb les seues credencials de metal-pop-rock dur-psicodèlic la banda va tocar en alguns dels grans festivals hippies de l'època: Newport (1968), Miami (1968), Denver (1969), Atlantic City (1969)...

Doug va seguir amb els Iron fins el 1971 i van continuar fent discos fins el 1975. Però els seus constants canvis de formació van eclipsar-los i van quedar superats per The Doors o Steppenwolf. No és que sigui un gran fan seu però si hagués d'escollir algun altre tema seu destacaria "Soul experience" i "In the time of our lives" del disc "Ball" (1969), i el que fou el seu segon single que va arribar més amunt en llistes "Easy rider (let the wind pay the way)" del disc "Metamorphosis" (1970).

Doug Ingle després d'abandonar el grup va estar una temporada amb els Stark Naked and the Car Thieves però de seguida es retirà del món musical i es va dedicar a pintar cases i a administrar una empresa de vehicles recreatius al Bosc Nacional de Los Ángeles.

Tot i que normalment se'ls atribueixi el mèrit a Deep Purple els Iron Butterfly amb la seua psicodèlia pel mig van ser claus per al hard-rock i gran font d'inspiració per a molts músics. Doug Ingle ha mort als 78 anys. Bushy va morir el 2021, Brann el 2003 i Dornan el 2012. Era l'últim membre dels Iron Butterfly originals que quedava viu. 

Articles relacionats:

- AC/DC

- Slayer

- Soundgarden

- Whitesnake

-Barricada

- Deep Purple

Ultravox - Vienna

El 1952 a Tottenham neix Christopher Allen. Després de començar a tocar en diferents grups durant l'adolescència mentre estudiava Psicologia a la Universitat de Londres va fundar Tiger Lily el 1973, una banda de glam rock molt influenciada per Roxy Music i formada per ell, que ja s'havia canviat el nom per Chris Cross al baix, Billie Currie als teclats, Warren Cann a la bateria, John Foxx (Denis Leigh de nom real) a la veu i guitarra i Steve Shears a la guitarra. Com a banda van durar poc i només van enregistrar un single amb una versió de Fats Waller "Ain't misbehavin'" (1975) que es va fer servir com a banda sonora d'una pel·lícula X.

Després de passar per altres noms com Zips, Innocents, London Soundtrack i Fire of London l'any 1976 els cinc components de la banda optarien definitivament com a nom Ultravox!, així amb exclamació. Posteriorment aquest signe d'exclamació el van acabar suprimint.

El 1977 signen per Island Records i publiquen "Ultravox!" coproduït per Steve Lillywhite i Brian Eno i amb aquesta producció queda palesa la influència de Roxy Music, Lou Reed, Bowie i els Cockney Rebel. El disc fou un gran èxit del que era aleshores el glam-rock però no gens en els circuits comercials. "Systems of romance" (1978) tampoc va representar gran cosa tot i els bons singles "Slow motion" (1978) i "Quiet men" (1978).

El 1979 la companyia no veu rendible el projecte i Ultravox es remou de dalt a baix anant-se'n John Foxx i Steve Shears per a ser substituits per James Midge Ure (que venia de fer tecno amb els Visage i de fer més glam amb Thin Lizzy) i Robin Simon dels Neo. Ure havia estat convidat a participar amb els Sex Pistols però li van tirar més els sintetitzadors. 

Amb Midge Ure com a líder encenten una nova etapa i animats pel seu nou segell discogràfic, Chrysalis, la banda viu els seus millors moment a inicis dels vuitanta. El primer disc d'aquesta etapa és "Vienna" (1980) amb el mític single que dona títol al disc i que es va situar al 2 de les llistes del Regne Unit. Curiosament un poc recordat "Shaddap you face" de Joe Dolce li barrà el pas. "Vienna" és un tema melancòlic sobre una història d'amor estiuenca que a la gent de Chrysalis no els va acabar de fer el pes per lenta i depriment i els va tallar el finançament del videoclip, un video innovador amb una famosa escena d'una taràntula passejant per la cara del director inspirada en la peli El Tercer Home (1949). Un èxit de la new wave synth-pop vuitantera. Però aquest tema no va ser el primer single, anteriorment havien publicat "Sleepwalk" (1980) i "Passing strangers" (1980) amb poca repercussió i poc sintetitzador. També d'aquest disc és "All stood still" (1981) que va fer un gens menyspreable vuitè lloc en llistes britàniques.

A continuació arribaria "Rage in Eden" (1981) seguint l'estil synth-pop de l'anterior. El tema de presentació fou "The thin wall" (1981) fent un catorzè lloc en llistes. Tot i que no va arribar tan alt com el primer single "The voice" (1981), el tema més conegut de l'àlbum.

"Quartet" (1981) és el sisè disc i el de més èxit del grup arribant al 6 en les llistes de vendes. I si és així és sobretot gràcies a "Hymn" (1982) un tema produït per Gerge Martin i que tampoc va pegar molt en el seu temps però que a llarg termini s'ha convertit com un dels més emblemàtics d'Ultravox. D'aquest disc són també "Reap the wild wind" (1982) -els vídeos d'aquests dos singles dirigits per Cross-, "Vision in blue" (1983) i "We came to dance" (1983) tots ells mantenhint posicions entre la 10 i la 20 en llistes. El 1983, Midge Ure i Chris Cross, molt bons amics, dirigeixen els videoclips "Really sayin' someting" i "Shy boy" de Bananarama, un tema que arribà al 4 en llistes.

Amb "Lament" (1984) els Ultravox tanquen una etapa. El single de presentació va ser "One small day" (1984) que va passar sense pena ni glòria per llistes. Però el segon single va ser un altre dels grans temes d'Ultravox "Dancing with tears in my eyes" (1984) amb el qual tornarien a situar-se al 3 en llistes. Aprofitant l'etapa d'aquests últims quatre anys Chrysalis publica "The collection" (1984) un disc de grans èxits que va arribar al dos en llistes angleses. El 1985 Ultravox participa al megaconcert organitzat per Midge Ure Life Aid de Wembley amb els temes "Reap the wild wind", "Dancing with tears in my eyes", "One small day" i "Vienna".

El grup entra en declivi el 1985 amb "U-Vox" (Midge Ure el va definir literalment com un desastre) i amb l'ascensió de Midge Ure com a solista a part del grup ("If I was" ja era número 1 en llistes) i amb Warren Cann que ja havia abandonat la banda. Els singles "Same old story" (1985) i "All fall down" (1986) es queden sense entrar al top 20. La banda plega el 1988 i després hi han hagut refundacions variades, les últimes el 2009 i el 2012 amb el disc "Brilliant". 

El baixista i compositor de "Vienna" Chris Cross ha mort als 71 anys sense que hagin trascendit les causes.

Articles relacionats:

- Depeche Mode

- Hurts

- Kraftwerk

- Men at Work

- Dead or Alive

- Talk Talk

- Van Halen

- Vangelis

Intervals de confiança

Avui, dia de jornada electoral, toca escriure sobre matemàtiques electorals. En altres articles d’aquesta mateixa secció ja hem fet repàs de diferents mètodes d’assignació d’escons a partir dels vots i també hem parlat d’alguns aspectes matemàtics de les enquestes electorals.

Avui ens tornem a centrar en les enquestes i explicarem què són els famosos intervals de confiança. Un cop l’empresa que realitza l’enquesta d’intenció de vot ha fet la consulta a la mostra de persones escollides mitjançant alguna tècnica de mostreig (en un article anterior ja vam explicar com es realitza el càlcul d’aquest nombre de persones necessari) cal fer el càlcul de quin percentatge de vot obté cadascuna de les formacions polítiques. Però clar, aquestes, posem per cas, 1500 persones entrevistades poden arribar a generalitzar tota la població catalana que té dret a vot? Perquè a nosaltres no ens interessa saber l’opinió d’aquests 1500 entrevistats sinó aproximar-nos amb la major precisió possible a les opinions de la població. A aquest treball de generalització dels resultats d’una mostra a tota la població se l’anomena inferència estadística.

Quan es fa una enquesta telefònica es cometen errors, entre d’altres, a causa de l’atzar a l’hora d’escollir la mostra. Aquest error s’anomena error mostral i matemàticament el podem quantificar. Per a poblacions grans (més de 100.000) aquest error depèn de la mida de la mostra, del percentatge obtingut a partir de les enquestes de la mostra i del nivell de confiança. El nivell de confiança, que habitualment és d’un 95%, ens indica la probabilitat que realment la proporció o percentatge buscat de tota la població electoral es trobi dins de l’interval que donarem com a resultat. El càlcul es fa a partir de l’anomenada llei normal o gaussiana que ens diu que la major part de la població serà semblant a la de la mostra. Un cop fet el càlcul de l’error, aquest error s’ha de restar i sumar al valor que hem calculat de la intenció de vot a partir de la mostra i el resultat és un interval de confiança de la intenció de vot d’un determinat partit polític. Com més gran sigui el nivell de confiança que vulguem més ample serà aquest interval.

Vegem-ho amb un exemple. Suposem que el Partit Matemàtic Lleidatà (PML) obté, després de la realització d’una enquesta a partir d’una mostra de la població, una intenció de vot del 45% (45 de cada 100 enquestats han afirmat que votarien el PML). L’error mostral, després del càlcul corresponent a un nivell de confiança del 95%, resulta que és del 2%. Això ens està informant que amb una probabilitat del 95% l’estimació de vot del PML estarà situada en l’interval [45-2, 45+2]=[43, 47]. És a dir, inferim que el votaran entre el 43% i el 47% dels electors. Després això cal traduir-ho en escons i d’aquí surten el que en llenguatge periodístic s’anomenen les forquilles. 

Jerry Neyman

En el món de la probabilitat i l’estadística no és tan conegut com Fisher, Pearson o Gosset però aquest matemàtic rus fou qui proposà la teoria dels intervals de confiança, imprescindible avui dia per a l’anàlisi de dades. Neyman va fer moltes altres aportacions estadístiques que són actualment utilitzades en meteorologia i biologia.

(Article publicat al Lectura el 12 de maig de 2024)

La concentració de la mesura

“De manera contraintuïtiva, quan un procés depèn d'una sèrie de diferents fonts d'aleatorietat, en lloc de complicar-se, és possible que els diferents factors aleatoris es compensin entre si i produeixin resultats més previsibles.” Així explica l'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres el fenomen probabilístic de la concentració de la mesura, un fenomen estudiat pel matemàtic francès Michel Talagrand i pel qual (entre altres àrees d’estudi més) ha estat guardonat amb l’Abel Prize 2024, l’equivalent en matemàtiques del Nobel i del qual ja n’hem parlat en anteriors articles.

Per entendre bé això de la concentració de la mesura pensem en el llançament d’una moneda a l’aire. Si la moneda no està trucada i la llancem un sol cop tenim un 50% de possibilitats que surti cara i un 50% que surti creu. Si la llancem dos cops, la probabilitat que surti almenys una cara és del 75% i que en surtin exactament dos és del 25%. Amb tres llançaments hi ha un 87,5% de probabilitat que surti almenys una cara, i un 50% que surtin almenys dos cares. A mesura que anem augmentant el nombre de tirades la cosa es va complicant. Amb deu tirades, la probabilitat que surtin 4, 5 o 6 cares és del 65,6%. Amb 15 tirades, la probabilitat d’obtenir 6, 7, 8 o 9 cares és del 69,8%; en canvi la probabilitat d’obtenir-ne 1, 2 o 3 és només de l’1,75%. Amb 100 llançaments hi ha una probabilitat del 72,9% d’obtenir entre 45 i 55 cares. Amb 500 tirades la probabilitat d’obtenir entre 235 i 265 cares és del 83,4% però gairebé nul·la si volem obtenir-ne més de 300. Gràcies a la concentració de la mesura podem estimar que si llancem la moneda 1000 vegades hi ha una probabilitat del 99,7% que surtin entre 450 i 550 cares, mentre que la probabilitat que surtin més de 600 cares és de 0,000005%.

Llançar una moneda és un procés aleatori els resultats dels quals es distribueixen segons una corba anomenada campana de Gauss, on tenim probabilitats altes en la part central i molt baixes en els extrems. Tot i que aquestes distribucions han estat estudiades des de fa segles i modelitzen moltíssimes situacions quotidianes -és coneguda com a llei normal-, Talagrand va demostrar un conjunt de desigualtats que intenten explicar de la forma més precisa possible què succeeix en aquestes situacions a mesura que ens allunyem del centre.

Amb aquests estudis els matemàtics volen entendre la relació que hi ha entre els resultats individuals aleatoris i el comportament conjunt quan aquest esdeveniment es repeteix, de tal manera que esdeveniments aleatoris poden conduir a resultats molt predictibles encara que cada resultat sigui impossible de predir.

Michel Talagrand

Talagrand no ha rebut l’Abel només pel seu treball en la concentració de la mesura, sinó també per l’estudi de seqüències aleatòries anomenades processos estocàstics i per l’spin glass, l’estudi de patrons en materials i que ajudà a Giorgio Parisi a rebre el Nobel de Física el 2021.

(Article publicat al Lectura el 14 d'abril de 2024)

El dia de Pi

Aquest dijous va ser 14 de març i des del novembre del 2019 és oficialment el Dia Internacional de les Matemàtiques proclamat així per la UNESCO. Aquest dia es celebren a nivell internacional nombroses activitats per a commemorar-lo. Tanmateix, i de manera extraoficial, els col·lectius matemàtics ja celebràvem aquesta data anteriorment com el Dia de Pi (The Pi Day) ja que en forma anglosaxona (3/14) coincideix amb els primer dígits del meravellós i fascinant nombre π, el nombre irracional més emblemàtic de la història.

El nombre π va sorgir d’una simple proporció geomètrica entre el perímetre P d’una circumferència i el seu diàmetre D: P/D=π. En un principi el nombre π no s’anomenava π, la denominació oficial va ser cosa de William Jones l’any 1706 ja que π és la inicial de la paraula grega equivalent a perifèria. El gran Euler, que feia servir ‘p’, va popularitzar l'ús del símbol π. Abans que Jones oficialitzés el seu ús, ja l’havien utilitzat Isaac Barrow, William Oughtred o David Gregory.

El càlcul d’aquest valor s’ha anat perfeccionant al llarg de la història. Al papir Rhind egipci (1650 aC) es va fer servir l’aproximació π=256/81=3,160. A Babilònia feien servir 25/8=3,125. Els egipcis també tenien clar que 22/7=3,142 i els matemàtics indis 339/108=3,1388. Arquímedes va estimar el valor de π a partir de construir polígons de molts costats, perquè com més costats tingui un polígon regular més s’assemblarà a una circumferència i així va arribar a calcular que π havia d’estar entre 3,1408… i 3,1429… no gens malament per aquella època. També hi ha hagut aproximacions maldestres de π, com per exemple la que trobem al Llibre 1 dels Reis de la Bíblia on s’explica que Salomó “Va fer així mateix un mar de bronze fos, de deu colzes d'una banda a l'altra, perfectament rodó; (...) i el cenyia al voltant un cordó de trenta colzes”. És a dir, π=30/10=3 i es van quedar tan amples. O la llei 246 de l’Assemblea General de l’estat d’Indiana (EUA) que aprovà que π=3,2 per culpa d’un teorema erroni publicat a la revista American Mathematical Monthy per Edward Goodwin, un aficionat a les matemàtiques. Evidentment els matemàtics es van posar les mans al cap i la llei va quedar anul·lada.

Adriaan van Roomen calculà 16 decimals de π fent servir el mètode d’Arquímedes. Ho va fer el 1593 utilitzant polígons de 230 cares. L’interès de Van Roomen per π va ser fruit de la seva amistat amb un altre π-addicte: Ludolph van Ceulen. Conegut per la seua passió pel nombre π -algun cop se l’anomenà nombre ludofí- calculà 35 decimals mitjançant un polígon de 262 costats. Ceulen es va fer gravar π a la seua tomba però va ser destruïda durant la Segona Guerra Mundial.

Actualment es coneixen més de 62 bilions de decimals de π (concretament 62.831.853.071 750). El càlcul, fet el 2021, va durar més de 3 mesos.

π per tot arreu

π intervé en en multitud de situacions en matemàtiques i estadística però també en moltes lleis de la física. El matemàtic Augustus de Morgan deixà escrit “Aquest misteriós 3,14159… que es cola per totes les portes i finestres” fent referència al fet que quan menys t’ho esperes pot aparèixer un π en un càlcul.

(Article publicat al Lectura el 17 de març de 2024)

Steve Harley - Make me smile (come up and see me)

Stephen Malcolm Ronald Nice va començar a tocar el violí als nou anys fins que els seus pares li van regalar una guitarra espanyola i es va aficionar a aquest instrument. Aficionat al món del periodisme va treballar al Daily Express i a l'East London Advertiser d'on el van fotre fora per dur el cabell llarg, per no vestir corbata i per negar-se a escriure una notícia d'una dona que havia agafat dos llaunes de menjar d'una botiga. Però el seu era la música i el 1972 va començar a tocar pel metro de Londres i per Portobolleo Road. S'havia posat Steve Harley com a nom artístic.

Steve Harley, Milton James, Jean Paul Crocker, Paul Jeffreys i

Stuart Elliot van formar Steve Harley & the Cockney Rebel a partir d'un anunci en un diari el gener de 1973. Al juny ja fan signar contracte amb EMI i publiquen el primer single "Sebastian" i el primer disc "Human menagerie" que no arriben ni a entrar en llistes britàniques. Es van encasellar dins del glam-rock.

EMI els pressiona perquè s'espavilessin després del fracàs. Amb el tercer single "Judy teen" (1974) els arriba el primer èxit posant-se al 5 en llistes UK. Aquell mateix any publiquen el primer elapè "The psychomodo" produït per Harley i Alan Parsons i que es col·loca al 8 en vendes als Regen Unit. El següent single "Mr Soft" puja fins al 8 en llistes i en aquell moment la banda anuncia la seua dissolució per problemes interns. Au.

Steve Harley i Alan Parsons van decidir posar en marxa la carrera de la cantant nederlandesa Yvonne Keeley, la parella de Harley, amb temes dels Cockney Rebel com "Tumbling down" (1974) i "Loretta's tale" (1974). Com a cantant tampoc no va tenir una carrera gaire reeixida que diguem, el més notable el duet amb Scott Fitzgerald "If I had words" (1977) i els cors del projecte Stars ob 45. També aprofita Harley per a publicar un primer single com a solista "Big big deal" (1974).

L'octubre d'aquell mateix 1974, Harley i Elliot refan la banda amb Jim Creagan, Duncan MacKay i George Ford. I amb aquesta nova formació assoleixen el seu major èxit i únic número 1 en llistes "Make me smile (come up and see me)" (1975) extret del que seria el seu elapè de major èxit "The best years of our lives" (1976) i que es situaria al 4 en llistes -existeix aquesta versió dels Duran Duran entre d'altres-. Harley va aprofitar per a posar Keeley fent les veus al tema al costat de Tina Charles i Linda Lewis. La producció també va anar de la mà de Harley i Alan Parsons. El segon single "Mr. Raffles (man, it was mean)" també va ser un èxit a nivell europeu. Amb aquest ascens comencen gira pels EUA per a promocionar-se però el públic americà no els hi va fer gaire cas i se'n van tornar amb lo portante cap a Londres.

Harley produeix el disc “Beam of light” de la cantante Patricia Paay, germana de Keeley. Tot queda a casa. Després d'una sèrie de fracassos consecutius amb els discos "Timeless flight" (1976) i "Love's a prima donna" (1976) -en el qual s'inclou una versió del "Here comes de sun" de George Harrison- i de dos discos en solitari de Harley "Hobo with a grin" (1978) i "The candidate" (1979) EMI els fot fora el 1979 i dissolen els Cockney Rebel. 

Harley es pren sabàticament els vuitanta tot i un contracte de cinc discos amb RAK Records que se'l pren molt tranquil·lament. De tant en tant algun concertet amb els vells amics. El tema més sonat va ser quan Steve Harley reapareix en un curiós single amb Sarah Brightman interpretant el tema central de "The phantom of the Opera" (1986), el clàssic d'Andrew Lloyd Weber i que assoliria el 7 en llistes UK. Harley va estar tocant i publicant cosetes fins "Stranger comes to town" (2010).

Harley ha mort als 73 anys a la seua casa de North Essex després d'un càncer que ja el va obligar a deixar els escenaris a la tardor de 2023.

Articles relacionats:

- Alan Parsons Project

- Chris Rainbow

- Barry Ryan

- Wings

Eric Carmen - Hungry eyes

Eric Howard Carmen, fill d'una família de russos jueus que van emigrar a Cleveland, amb només sis anys ja tocava el violí i als onze el piano. Amb disset anys va començar a composar cançons i es va iniciar en les seues primeres bandes de rock tocant la guitarra: Fugitives, Harlequins, Sounds of Silence i Cyrus Erie. Quan Cyrus Eire es va dissoldre Wally Bryson i Carmen s'uneixen a Jim Bonfanti i Dave Smalley per a formar Raspberries, una de les bandes favorites de Bruce Springsteen.

Els Raspberries van publicar quatre elapès d'estudi: "Raspberries" (1972), "Fresh" (1972), "Side 3" (1973) i "Starting over" (1974). Però sobretot van destacar pels seus singles. El major èxit "Go all the way" (1972) arriba al 5 en llistes; "I wanna be with you" (1972) arriba al 16; "Let's pretend" (1973) al 14; "Overnight sensation" (1974) al 16 i també destacaria, encara que no van arribar tan amunt, "Tonight" (1973) i "I'm a rocker" (1973). La banda es dissol el 1975 i el 2004 es reuneixen per a fer alguns concerts revival.

Eric Carmen, després de plegar del liderat de The Raspberries, debuta com a solista el 1976 de la mà de la discogràfica Arista. L'èxit no el va fer esperar i el seu primer disc "Eric Carmen" (1976) el posa al més alt nivell dels cantants solistes i compositors de mitjans dels setanta als EUA, al costat de Rod Steward, Barry Manillow, Steve Miller, Elton John, Paul Simon, John Denver, Neil Sedaka, Leo Sayer, Andy Gibb... El responsable fou sobretot el tres setmanes nùmero 2 en llistes i primer single del disc "All by myself" amb més d'un milió de còpies venudes. El tema fou redescobert per una versió perpetrada per Celine Dion el 1996. El segon single del disc va ser "Never gonna fall in love again" i tant aquest tema com l'anterior estan basats en obres del compositor i pianista rus Sergei Rachmaninoff. En el disc s'inclou el clàssic "On Broadway" de la factoria Leiber & Stoller.

El segon disc en solitari va ser "Boats against the current" (1977), extret de la novel·la The Great Gatsby d'Scott Fitzgerald i que us sonarà per la pel·lícula també. El tema més destacat és "She did it" tot i que només arribà al 23 en llistes EUA i que compta amb Jeff Porcaro dels Toto a la bateria. D'aquest disc també és "Love is all that matters". 

El tercer disc tampoc no va ser cap èxit comercial, "Change of heart" (1978). D'aquest disc són "Hey Deanie" popularitzada posteriorment per Shaun Cassidy. Aquesta etapa s'acabria amb "Tonight you're mine" (1980) amb el tema "It hurts too much" com a més destacat.

Després de l'estancament de la carrera, Carmen es pren uns anys de silenci i reclicatge tornant a mitjans dels vuitanta amb un nou impuls a la seua carrera. La nova etapa s'inicia composant "Almost paradise" (984) per a Mike Reno i Ann Wilson, el tema romàntic de la banda sonora de Footloose i que més tard enregistraria Carmen en un altre disc. Després publica "1984" (1985) i el tema "I wanna hear it from your lips", també en el disc hi trobem un tema de Michael Bolton "Living without your love". 

Els singles són els gran èxits de Carmen durant aquesta època. I és que a continuació arribaria la seua millor cançó, un tema que es va incloure en la banda sonora de Dirty Dancing i que va ser número 4 en les llistes americanes: "Hungry eyes" (1987). L'impacte de l'èxit d'aquest single va fer que Eric i la seua banda fessin una gira pels EUA. Els últims singles d'èxit d'aquesta etapa, i de fet de la seua aparaició en llistes, van ser "Make me lose control" (1988) i "Reason to try" (1988), aquest últim aparegut en un disc de cançons dels JJOO de Seül. A partir d'aquí la carrera de Carmen s'apaga a nivell comercial. El 2000 ressuscita amb "I was born to love you" i el single homònim i participa en la gira de Ringo Starr i anys després publica l'inèdit "Brand new year" (2013) per a promocionar els grans èxits "The essential" (2014), però la seua carrera ja viu sobretot de rendes.

Eric Carmen ha mort als 74 anys, la seua dona Amy no va voler comunicar-ne els motius.

Articles relacionats:

- Toto I

- Toto II

- Steely Dann

- The Ronettes

Nasir al-Din al-Tusi

Cap allà al s.IX va començar l’època més gloriosa del desenvolupament de la matemàtica àrab a la zona de l’antiga Mesopotàmia i des d’on es van deduir moltes de les idees actuals de l’àlgebra, la geometria i des d’on es va popularitzar l’ús del sistema de numeració hindú que encara avui dia fem servir i que va resultar molt més pràctic que el sistema de numeració romà. 

Avui, 18 de febrer, celebrem l’aniversari d’un dels matemàtics àrabs més influents en la història: Nasir al-Din al-Tusi. Nascut l’any 1201 a Tus, l’actual Iran, al-Tusi fou matemàtic, astrònom, metge, filòsof. arquitecte, escriptor i teòleg, un tot-terreny de l’època.

Els primers treballs d’al-Tusi van ser a l’observatori astronòmic de Maragheg des d’on, a partir de 12 anys d’acurades observacions dels moviments planetaris deixà escrites unes taules que permetien calcular les posicions dels planetes juntament amb un catàleg d’estrelles. Lector de l’astronomia i la matemàtica grega, en aquests escrits es va proposar millorar les idees de Ptolomeu i va deixar redactat el seu conegut teorema del parell de Tusi i que Copèrnic va utilitzar en la seua obra clau De Revolutionibus, traduïda i publicada al català per l’Institut d’Estudis Catalans. El teorema diu que si tenim dos cercles de diàmetres un el doble de l’altre, i el cercle petit el fem rodar interior al gran amb un punt tangent aleshores un determinat punt d’aquest cercle segueix un moviment rectilini al llarg del diàmetre del cercle gran.

A part d’aquest teorema de gran importància astronòmica, l’herència d’al-Tusi en el món de les matemàtiques és la trigonometria. La trigonometria, tal com diu el seu nom d’origen grec (trigonos vol dir tres angles) és la branca de les matemàtiques que estudia els triangles i les relacions i mesures entre els seus angles i costats. Va sorgir per la necessitat de realitzar càlculs de distàncies astronòmiques inabastables, de tal manera que, per exemple, si es coneixen dos costats d’un triangle i l’angle que formen es pot calcular el costat que falta. Al-Tusi va fer ús de la trigonometria per als seus càlculs però es considera que fou pioner en estendre l’ús d’aquesta branca per a càlculs fora de l’àmbit de l’astronomia, és a dir, per altres aplicacions més terrestres. De fet va publicar un tractat de cinc volums sobre trigonometria plana i esfèrica Kitab al-Shaki al-qatta, conegut com El tractat sobre el quadrilàter, el qual es considera el primer tractat íntegrament sobre trigonometria. En aquest tractat apareix per primer cop l’anomenat teorema del sinus, un teorema que relaciona els costats dels angles amb els sinus (un càlcul trigonomètric) dels seus angles oposats.

Unes altres contribucions d’al-Tusi va ser el càlcul d’arrels enèssimes (quadrades, cúbiques i moltes més) d’un nombre i la determinació i algunes propietats dels anomenats nombres combinatoris que a part de tenim propietats en l’àmbit de la combinatòria també s’utilitzen en àlgebra per a calcular potències de polinomis.

Doodle de Google

El 18 de febrer de 2013 Google va dedicar el seu doodle a la figura de Nasir al-Din al-Tusi. Tant Iran com Azerbaidjan tenen segells oficials dedicats a l’astrònom i matemàtic i a la Lluna un cràter de gairebé 60 km duu els eu nom.

Parell de Tusi

La circumferència blava té un diàmetre que és la meitat de la circumferència negra. Si fem rodar la circumferència petita de manera que es mantingui tangent per l’interior a la gran el moviment del punt E de la circumferència blava sempre serà seguint el segment verd.

(Article publicat al Lectura el 18 de febrer de 2024)

Un tetraèdric 2024

Ja fa dies que hem començat el 2024, un any de dígits parells i que si el descomponem per factors primers queda 2×2×2×11×23 i escrit en potència mostra una bonica simetria. Queda clar que 2024 no és primer però el 2024 té algunes cosetes molt xules. Per exemple el podem escriure d’aquesta manera 2024=(2+0+2+4)×11×23 i això vol dir que 2024 és múltiple de la suma dels seus dígits, aquests nombres ja vam veure en anys anteriors que s’anomenen harshad (de les paraules sànscrites harsa i da, que volen dir donar alegria). Des del 2022 que portem anys harshad tot i no ser gaire alegres i encara ho serà el 2025, però aprofitem que el 2026 ja no.

2024 té 16 divisors que els podem agrupar per tal que sumin el mateix: 1+2+4+8+11+22+23+46+88+184+253+506+1012=2160 i 44+92+2024=2160, quan succeeix això se diu que és un nombre de Zumkeller en honor al matemàtic alemany Reinhard Zumkeller. Una altra manera curiosa d’obtenir el 2024 jugant únicament amb els seus dígits és fent (20+24)+(20+24)+(20+24)×(20+24). Podem posar el 2024 com a suma de 8 nombres parells consecutius: 246+248+250+252+254+256+258+260=2024. I com una producte de dos nombres parells consecutius: 2024=44×46. Això fa que 2024 sigui un quadrat menys 1 i se diu que és un nombre de Cunnigham, estudiats pel matemàtic d’origen indi Allan Joseph Champneys Cunningham intentant buscar nombres primers.

Us serà interessant saber que si teniu una caixa de base quadrada de costat 1104 i alçada 1288 i hi voleu guardar un bastó la mida més llarga del bastó que hi podeu encabir és de 2024. Imagineu ara que sou 24 persones i heu de fer grups de 3, doncs resulta que podeu fer 2024 agrupacions diferents amb aquestes 24 persones agafades de 3 en 3 sense que importi l’ordre amb què es vagin triant. 

Suposem que ens dediquem a apilar taronges en una fruiteria de tal manera que cada pis de taronges forma un triangle, a dalt de tot tenim una taronja, a sota 3, al pis de sota 10 i així successivament fins aconseguir fer 22 pisos triangulars de taronges, és a dir, una piràmide de base triangular (tetraedre) plena de taronges. Si us dediqueu a fer això tindreu apilades ni més ni menys que 2024 taronges. Per tant direm que que 2024 és el 22è nombre tetraèdric. Els nombres tetraèdrics es poden obtenir a partir de l’expressió n×(n+1)×(n+2)/6 donant valors a la n a partir del 0 (2024=22×23×24/6) i els primers nombres tetraèdrics són 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545… que si us fixeu són gairebé tots parells excepte els que estan en les posicions següents a un múltiple de 4..

Per acabar bé l’article cal dir que 2024 és un nombre apocalíptic ja que si elevem 2 a 2024 apareix la cadena 666 entre els seus 610 dígits. Per tant, ara sí, bon 2024.

2024 amb potències

El 2024 el podem representar amb els quadrats dels 11 primers nombres parells i amb els cubs dels nombres consecutius del 2 al 9. També a la imatge veiem la descomposició en primers i la de Cunnigham.

(Article publicat al Lectura el 21 de gener de 2024)