Aproximacions

Aproximar és una operació mental que fem, bàsicament, per facilitar-nos la vida. Quan anem al supermercat i veiem un producte que val 11,95 € i li volem donar aquesta informació a algú altre acostumem a dir que val 12 €. O si el preu d’un cotxe és de 23.890 € i ho volem comentar la tendència serà dir que el cotxe val 24.000 €. En ambdós casos hem arrodonit i, òbviament, estem cometent un error perquè no donem el valor exacte sinó que estem fent una aproximació d’aquest valor exacte.

Tot i que la paraula error ens pot fer una mica de por, no passa res si tenim clar com aproximem. En matemàtiques podem quantificar (mesurar) l’error comès. Un tipus de mesura de l’error és l’anomenat error absolut. Aquest error es defineix com la diferència entre el valor exacte i el valor aproximat sense tenir en compte el signe (restant el menor del major ens quedarà sempre positiu). Així a l’hora d’informar el preu del cotxe d’abans l’error absolut comès serà de 24.000-23890=110 €, és a dir, ens estarem equivocant de 110 € en el preu exacte del cotxe. Si en lloc de 24.000 aproximéssim el preu del cotxe per 23.000 aleshores cometríem un error absolut de 23.890-23.000=890 €. Molt bé, però equivocar-se de 110 € o de 890 € en el preu d’aquest cotxe… és molt o és poc?

Per contestar això tenim l’anomenat error relatiu, que consisteix en comparar (dividir) l’error absolut amb el valor exacte. L’error absolut de 110 € causa un error relatiu de 110/23890=0,0046 (un 0,46%) i l’error absolut de 890 € té associat un error relatiu de 890/23890=0,037 (un 3,7%). Per tant, la primera aproximació és molt més bona que la segona perquè està més a prop del valor real i provoca un error relatiu molt menor.

Tanmateix hi ha vegades que és interessant tenir en compte molts dígits. En preus, normalment, es fan servir dos xifres decimals, que equivalen als cèntims d’euro, però hi ha algunes excepcions. Aquests mesos que tothom estem mirant per tot arreu els preus de la gasolina i el gasoil ens adonem que aquest preu està donat amb 3 dígits decimals. Una cosa semblant passa amb el rebut de la llum, on poden donar-nos el preu del kWh amb 6 dígits decimals, per exemple 0,098753 €/kWh. Si el preu de la gasolina està a 1,486 €/L i ens l’aproximen (un arrodoniment que es diu) a 1,49 €/L, s’està cometent un error absolut de 0,004 € i un de relatiu del 0,27%. Però en un dipòsit de 50 L d’un cotxe, aquest error absolut arriba als 0,004×50=0,20 €, és a dir 20 cèntims. Us pot semblar poc, però al cap d’un mes ja pot ser més d’un euro de diferència. Es produeix, doncs, un efecte multiplicador amb l’error absolut d’una aproximació. Imagineu què suposa si la benzinera ven 50.000 L al dia… aquest 0,004 es converteix en 200 € de pèrdua o guany. En canvi, l’error relatiu no es veu afectat per l’efecte multiplicador ja que (0,004×50)/(1,486×50)=(0,004)/(1,486), fet que ens dona el mateix 0,27% anterior. Com que es multiplica i es divideix per 50, és com multiplicar per un; és a dir, l'error relatiu es manté neutre.

El rècord dels 100 m llisos

La Federació Internacional d’Atletisme registra el rècord mundial dels 100 m llisos des del 1912. El juny de 1968, el corredor nord-americà Jim Hines el va fixar en 9,9 s i, uns mesos després, el mateix Hines el va situar en 9,95 s… Què ha passat aquí? Als JJOO de Mèxic es va introduir el cronometratge electrònic automàtic, capaç de mesurar les centèsimes de segon. Afegir dígits no és només fer el número més llarg, canvia la qualitat de la dada 

(Article publicat al Lectura el 7 de juny de 2026)

Florence Nightingale

El 10 de maig de 1910, avui fa 116 anys, una dona que va revolucionar l’anàlisi de dades sense passar per cap facultat de Matemàtiques va rebre la insígnia d'honor de la Societat de la Creu Roja Noruega pocs mesos abans de morir. Avui toca parlar de Florence Nightingale, una pionera del big data.

Situem una mica el context. L’estiu de 1853 l’exèrcit rus s’havia desfet de l'armada turca, estava a punt de prendre Istambul i controlar l’estret del Bòsfor. Això no va fer gaire gràcia a anglesos i francesos que van veure com els russos els podien tallar les comunicacions amb l’Índia a uns i amenaçar els seus interessos al Mediterrani als altres, així que van enviar tropes per ajudar els turcs a la península de Crimea. Era l’inici la guerra de Crimea, una guerra gestionada de forma molt sapastre pels anglesos, amb unes condicions de vida dels soldats tan lamentables que els reporters i fotògrafs visualitzaven al diari The Times. La societat anglesa es va escandalitzar i aquesta pressió mediàtica (ja en aquella època!) va provocar que el secretari de Guerra britànic enviés un cos de 38 infermeres dirigit per Florence Nightingale. 

Quan va arribar a Scutari, un suburbi de l’actual Istanbul, es va adonar que la majoria de soldats que morien eren a causa de malalties infeccioses i no pas de ferides de guerra. A partir d’aquí, Florence va començar a analitzar dades establint una relació entre la massificació de malalts i la taxa de mortalitat. La conclusió va ser que un soldat ferit tenia més probabilitats de viure si es quedava ferit al camp de batalla que no pas si era traslladat a un hospital militar. Amb l’equip de Florence en marxa i les millores higièniques que va implementar -tot i l'oposició de l’estament conservador militar- aquesta taxa va caure en picat del 42,7% al 2,2%. 

La idea que va tenir Florence de recopilar les dades va ser mitjançant un innovador i visual diagrama, conegut actualment com a diagrama de la rosa o diagrama d’àrea polar. A diferència d'un gràfic de sectors tradicional (on cada tall té un angle diferent depenent de la freqüència del valor que representa), en el diagrama de Nightingale el cercle es divideix en 12 talls exactament iguals de 30º i en què cadascun d’ells representa un mes de l'any. A més, cada tros té radi variable de manera que com més gran era la quantitat de morts d'aquell mes, més s'allarga el tall cap enfora des del centre aconseguint que l’àrea dels sectors circulars fos proporcional al nombre de morts. Per a fer-lo encara més visual va utilitzar tres colors en cada sector per indicar els morts de les diferents causes: el blau per a morts per malalties, el roig per a morts causades directament per ferides de guerra i el negre per a qualsevol altra causa.

Programa Florence

El 1858, Florence Nightingale fou la primera dona en ser admesa a la Royal Statistical Society i el 1907 la primera en rebre l’Ordre del Mèrit Britànic. El 2024 el Departament d'Educació de la Generalitat de Catalunya va batejar el seu pla de millora matemàtica a les aules com a Programa Florence en honor a qui va posar les bases de l’ús de l’estadística en la infermeria moderna .

(Article publicat al Lectura el 10 de maig de 2026)

Menys per menys és més

Els nombres van aparèixer per la necessitat que va tenir l'ésser humà de comptar coses. Els nostres avantpassats feien sumes amb normalitat, les restes només de quantitats petites sobre quantitats més grans i els prestigiosos matemàtics de l’antiguitat només resolien equacions amb coeficients positius i solucions positives. Els xinesos van ser els primers que van posar en pràctica nombres de diferents tipus fent servir uns bastonets de color roig per indicar valors positius i uns altres de color negre per a indicar valors negatius. A Europa els va introduir Leonardo de Pisa Fibonacci el 1202, però els matemàtics de l’època no ho acabaven de veure clar això dels negatius. Finalment es va poder comprovar que podien ser útils i avui ja estem acostumats a trobar-los en termòmetres, ascensors que van al pàrquing i en comptabilitat, curiosament amb color diferent dels seus inicis xinesos. El signe - (igual que el +) no va fer fortuna fins el 1489 i fou idea del comptable alemany Johann Widman que se li va acudir escriure’l per indicar quan faltaven quantitats (i el + per quan en sobraven).

Un cop definit el nostre nou conjunt numèric hem de definir quines operacions podem fer amb ell. Què vol dir sumar nombres negatius? El matemàtic indi Brahmagupta (s. VII dC) va deixar escrit que sumar nombres negatius equivalia a acumular deute. De fet ell anomenava deute als nombres negatius i fortuna als positius. Així si devem 100 € el banc ens ho escriu  com -100 i si després tenim un nou deute de 50 € tindrem (-100)+(-50)=-150, és a dir un deute de 150 €. Queda clar, doncs, que una suma de nombre negatius és un altre nombre negatiu de deute més gran. 

I restar negatius? Què vol dir? Si pensem en els deutes, sumar deute és acumular deute com hem vist fa un moment, però què fem si restem deute? Vegem-ho en un exemple, tenim el nostre descobert al compte bancari de 150 € (-150) i hi ingressem 200 €, aleshores el que fem és restar 200 € de deute perquè l’estem reduint aquest deute. Matemàticament (-150)-(-200)=+50. En canvi si el deute de 150 € el reduïm en 50 € tindrem que (-150)-(-50)=-100 i continua quedant negatiu, és a dir, deute però menys. Fent servir els símils del matemàtic Brahmagupta restar deute és guanyar fortuna. Matemàticament restar un nombre negatiu és el mateix que sumar un positiu i a vegades donarà positiu i a vegades negatiu, tot depenent dels valors absoluts (valor d’un nombre sense tenir en compte el signe).

També és senzill pensar què succeeix si multipliquen un nombre positiu per un nombre negatiu. Pensem en el deute -100 anterior que tenim al compte, si ens carreguen un altre deute igual ja sabem que tindrem (-100)+(-100)=-200, i si ens el carreguen un altre cop (-100)+(-100)+(-100)=-300. Quan sumem varies vegades una mateixa quantitat el que fem és multiplicar i, per tant, podem dir que (-100)×3=-300. Conclusió, quan multipliquem un valor positiu per un negatiu el resultat és negatiu.

Menys per menys

En la imatge partim del fet que 1×2=2. Després canviem 1 per (2-1) i el 2 per (3-1) que òbviament és el mateix. Multipliquem aplicant la propietat distributiva i al resultat de (-1)×(-1) li posem el valor a que volem deduir. Com que 1+a ha de ser 2, a la força a ha de valer 1 i, per tant, (-1)×(-1)=+1.

(Article publicat al Lectura el 12 d'abril de 2026)