La hipòtesi de Riemann

El dilluns 24 de setembre les matemàtiques van ser notícia, poquet, però notícia. Aquell dilluns, a les 9.45, al Heidelberg Laureate Forum 2018 l'il·lustre matemàtic Michael Atiyah -ha guanyat els dos guardons matemàtics més importants que existeixen, la medalla Fields i el premi Abel- presentà una possible demostració del problema no resolt més important actualment en matemàtiques: la hipòtesi de Riemann. La resolució del problema té una recompensa d'un milió de dòlars que ofereix l'institut Clay de matemàtiques.

Aquesta complexa hipòtesi la va formular el matemàtic Bernhard Riemann (1826-1866) l'any 1859 i han estat molts els que s'han fotut de lloros en l'intent de demostrar-la. Els últims en intentar-ho foren Louis de Branges (2004), Xian-Jin Li (2008) i Opeyemi Enoch (2015). El curiós del cas és que la possible demostració de Michael Atiyah no és gens extensa, només ocupa un PDF de 5 pàgines amb una bibliografia de tres articles, dos dels quals són seus. En la presentació, per sorpresa de tothom, ho va resumir en una sola diapositiva de Power Point.

I què diu aquesta hipòtesi? El seu enunciat és “tot zero no trivial de la funció zeta de Riemann, (un sumatori infinit) té part real igual a 1/2”. Segurament posat així s'entén ben poca cosa o potser res, però la seua demostració ens donaria moltíssima informació sobre el funcionament dels nombres primers. Aquests nombres són els que només poden dividir-se de forma entera entre ells mateixos i la unitat, són la base de l'aritmètica i s'utilitzen en criptografia per xifrar missatges, per exemple en el sistema RSA que s'usa en seguretat per la xarxa. A més, la resolució d'aquesta hipòtesis permetria demostrar molts teoremes que depenen de la seua veracitat.

Els primers primers són 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… podem dir que entre els 20 primers nombres hi ha 8 primers, un 40%. Però a mesura que els nombres es van fent grans, la freqüència d'aparició dels primers va disminuint. Per exemple, entre l’1 i el 1.000 n'hi ha 168, és a dir el 16,8 % dels nombres entre 1 i 1.000 són primers, però entre l’1 i el 100.000 el percentatge de primers baixa a 9,59% i entre l’1 i el 10.000.000.000 només hi ha un 4,55% de nombres primers. Intentar localitzar aquests nombres primers enormement grans -des del temps d'Euclides ja sabem que n'hi ha infinits, el problema és trobar-los- és un repte en el qual hi van treballar molts matemàtics fins que Riemann deixà escrit que la distribució dels nombres primers estava relacionada amb la funció zeta anteriorment esmentada. I des de llavors estem esperant la demostració.

El popular matemàtic G. H. Hardy, mentre feia una travessia molt complicada, va enviar un fals telegrama on afirmava haver resolt la conjectura de Riemann. D'aquesta forma Hardy s'assegurava que si acabava la travessia hi hauria gent esperant-lo però si hi moria passaria en lletra gran a la història de la matemàtica.

(Article publicat en el Lectura del 28/10/2018)