El 31 d’agost de 1945, és a dir avui fa 80 anys, moria als 53 anys el matemàtic polonès Stefan Banach a conseqüència d’un càncer de pulmó. Banach ha donat força nomenclàtor al món de les matemàtiques: els espais de Banach, el teorema del punt fix de Banach (que n’haurem de parlar en algun altre article ja que és la base de l’algoritme de funcionament de Google), el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema de Banach-Steinhaus o la paradoxa de Banach-Tarski, de la qual en parlarem avui.
El teorema o paradoxa de Banach-Tarski (duu també el nom del matemàtic polonès Alfred Tarski) és un dels resultats més histriònics de les matemàtiques. Resumidament ens ve a dir que si tenim una esfera i la dividim en un nombre finit de trossos aquests trossos els podem reagrupar de tal forma que podem formar dos esferes iguals que la primera que teníem. El teorema ens està dient que d’una taronja en puc fer dos, és a dir, un més un és igual a un! Absolutament contraintuïtiu. I això que ens pensàvem que els matemàtics són gent rigorosa…
Anem a treure una mica l’entrellat de com funciona tot això. Primer cal dir que és un resultat abstracte i no el podem portar a terme en el món físic, però no deixa de ser un teorema amb la seua demostració. També dir que el resultat funciona en tres dimensions (i més!), és a dir en esferes i, per tant, no el podem aplicar a cercles que són objectes bidimensionals.
La clau és en la manera en com partir la primera taronja a trossos. Aquests trossos no poden ser de qualsevol forma sinó que han de ser trossos no mesurables (aquest és el concepte clau). A grans trets això vol dir que no tenen volum. Aleshores aquests trossos estranys els podem moure i girar sense deformar-los per a formar les dos esferes iguals ja que com no tenen volum definit no té sentit parlar d’una duplicació del volum dins d’aquestes teories no mesurables. I aquí també necessitem l’anomenat l’Axioma d’Elecció, que ens diu que si tenim una col·lecció infinita de conjunts sempre podrem triar un element de cadascun d’ells. Banach-Tarski ho utilitza per triar punts específics que permet construir els conjunt estranys que permeten construir les dos esferes.
En conclusió, no ho proveu de fer a la cuina de casa perquè els préssecs o les taronges que hi tenim si els partim ho farem en trossos amb volums definits i no podem duplicar la matèria del no-res. Tot i no poder aplicar-se al món real aquest teorema sí que s’ha utilitzat per al plantejament de noves preguntes sobre la naturalesa de l’infinit i les teories de la mesura. Tot i que és complicat d’explicar, m’agradaria que l’article d’avui serveixi per a fer veure com de necessari és el caràcter abstracte de la matemàtica, com els matemàtics són capaços de jugar-hi per a treure noves conclusions i divulgant-ho fer que les matemàtiques també tinguin aquest punt de bogeria divertida.
Teorema amb molta literatura
La idea esbojarrada del teorema ha comportat que sigui un dels més coneguts entre el món matemàtic i se n’hagi fet força literatura. Només que feu alguna cerca per la xarxa de seguida hi trobareu contes, acudits, tires còmiques i fins i tot un videoclip amb la base musical del tema Barbra Streisand fet per un grup d’estudiants del grau de Matemàtiques de la Universitat de Copenhaguen.
(Article publicat al Lectura el 31 d'agost de 2025)
Com ja sabeu els lectors i lectores habituals d’aquesta secció, Lo Teorema del mes d’agost m’agrada dedicar-lo a proposar reptes matemàtics variats. Els que us ho proposo avui estan extrets de l’activitat Reptes al Carrer que vam dur a terme des de l’associació Lleimat en col·laboració amb el grup de Matemàtiques al Carrer de la Federació d’Entitats d’Ensenyants de Matemàtiques de Catalunya. Durant tres setmanes del mes de juny una cinquantena de comerços de l’Eix Comercial i la Zona Alta, així com la Biblioteca Pública de Lleida, van exposar un enigma matemàtic al seu aparador. La participació era lliure i mitjançant un codi QR es podia enviar la resposta dels reptes. Els participants que més enigmes van resoldre van ser premiats amb lots de productes i serveis que els mateixos comerços van oferir.
Així que ara preneu paper i boli i us animo a resoldre alguns dels enigmes proposats a Reptes al Carrer:
La matrícula del meu cotxe està formada per quatre xifres. La xifra de les unitats és el doble que la dels milers. La xifra de les desenes és el triple que la de les centenes. La xifra de les unitats és 5 unitats més petita que la de les desenes. Quina matrícula tinc?
Una ampolla i el seu tap valen 1,20 €, quant val l’ampolla si val un euro més que el tap?
La Maria té un germà anomenat Joan. En Joan té tants germans com germanes. En canvi, la Maria té el doble de germans que de germanes. Quants nois i quantes noies són a la família?
Quatre amics es troben un sobre amb molts diners i han fet el següent repartiment: En Joan es queda amb una tercera part. L’Alícia una part de cada quatre. L’Anna dues parts de cada cinc i el Leo es queda 100 €. Quants diners es queda qui se’n queda més?
L’altre dia vaig estar en un mercat de bestiar molt especial, no es comprava ni es venia, només es canviava. Em vaig interessar en els canvis i em van dir que una ovella i una vaca es canviaven per un cavall. Una vaca es canviava per una ovella i per un porc. Tres porcs es canviaven per un cavall. Si jo volia canviar la meua vaca per ovelles, quantes me’n van donar?
Una aranya teixeix de forma que cada dia fa una superfície de teranyina igual a la total teixida fins aquell dia. Si per a fer una teranyina completa ha trigat 30 dies, quant temps hauria trigat a fer la mateixa teranyina si una altra aranya amb la mateixa manera de teixir l’hagués ajudat?
I el darrer el teniu en la imatge que acompanya l’article…
Bona feina!
Solucions
2394
1,10 € (el tap val 10 cèntims)
4 nois i 3 noies
L’Anna es queda 2400 €
2 ovelles
29 dies (les dos aranyes hauran fet la meitat del total)
12 cubs
(Article publicat al Lectura el 3 d'agost de 2025)
Demà s’inaugura a Lleida una nova edició del Congrés Català d’Educació Matemàtica, el C2EM tal i com el coneixem fent servir notació matemàtica. Aquest Congrés potser és l’esdeveniment més important per a la formació dels mestres i professors de matemàtiques de Catalunya i serà la seua tercera edició després de la de Barcelona (2016) i la de Tarragona-Reus (2020).
La trobada està organitzada per la FEEMCAT (Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya) de la qual en forma part Lleimat, l’associació de professors de matemàtiques de Lleida i comarques i de qui ja hem parlat més d’un cop en aquesta secció sobre les moltes activitats que organitza per a impulsar l’estímul matemàtic als joves. El C2EM2025 està adreçat als docents de matemàtiques de totes les etapes educatives, des de l’educació infantil fins a la universitat i la formació d’adults.
El lema escollit és Impulsem l’educació matemàtica. Fer, mirar, pensar. D’acord amb aquest lema i la creixent preocupació pels resultats en matemàtiques de l’alumnat del país, els objectius principals del C2EM2025 són impulsar el creixement professional del professorat i facilitar la transició entre etapes educatives fomentant l’intercanvi d’experiències, inquietuds i recerques d’aula. També es vol millorar l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques des de diferents perspectives, aprofundint en les connexions amb altres disciplines i amb l’entorn. A més, es pretén potenciar la imatge social de les matemàtiques i donar a conèixer els seus objectius educatius actuals, enfortir la creació de xarxes i grups de treball entre docents, i promoure la passió per les matemàtiques a través de la col·laboració. De fet, l’associacionisme en aquesta disciplina és molt nombrós a nivell mundial, amb multitud de cursos, congressos i jornades amb el propòsit de millorar l’educació en aquest àmbit.
Així que, durant aquests 3 propers dies, parlaran de matemàtiques però també gaudiran de la ciutat grans de la pedagogia al costat de més de quatre centenars de mestres i professors. Aprofitant que el congrés es celebra a Lleida s’ha volgut integrar-lo a la ciutat i s’han preparat per als congressistes visites, rutes matemàtiques, diferents activitats relacionades amb la nostra fruita i els vins de la DO Costers del Segre i no podia faltar un tast de caragols. No només de matemàtiques viuen els profes de mates!
El Claudi Alsina, una institució en la pedagogia i divulgació de les matemàtiques i que ens visitarà durant aquests dies, en un dels seus llibres recupera una frase de Barack Obama de l’any 2009 que ens va molt bé per l’ocasió: “Vull que tots els professors de matemàtiques sàpiguen matemàtiques. (...) Vull que sàpiguen com inspirar i involucrar als joves.”
Per a tot el públic
En motiu de la celebració d’aquest congrés a Lleida teniu a la vostra disposició fins el 13 de juliol l’exposició del MMACA Martemàtiques a l’espai IX de l’IEI. I fins al 14 de juliol, al claustre de la Biblioteca Pública hi trobareu Llegim les matemàtiques, una mostra de documents en diferents formats i per a préstec sobre matemàtiques. I a la Sala d’Arts i Patrimoni de la mateixa Biblioteca una mostra de fons patrimonial del s.XIX sobre matemàtiques fins el 30 de setembre. Visiteu-ho, descobriu i gaudiu.
(Article publicat al Lectura el 6 de juliol de 2025)
A mitjans dels anys setanta la banda de rock formada per una guitarra. un baix i una bateria havia quedat petita. El rock simfònic havia obert les portes a fons orquestrals i el consum musical de l'oient s'havia tornat exigent musicalment i va néixer una nova manera de fer música amb sons, harmonies i lletres equilibrades, portades: naixien els supergrups. Queen, ELO, Dire Straits o Supertramp. Un moviment d'origen netament nordamericà que, curiosament, es va desenvolupar al Regne Unit.
Rick Davis volia liderar amb els seus teclats un supergrup d'aquests. Va començar movent-se per Munich amb dos bandes: The Lonely Ones i The Joint, però no eren prou per ell. Poc temps després coneix l'excèntric milionari neerlandès Stanley August Miesager Samque li proposa ser el seu mecenes per a fer de Davies una estrella del món de la música. Però Davies continua amb la seua idea de formar una banda, agafa els quartos del neerlandès i se'n va a Londres. El 1969, allà a Londres, coneix per un anunci que va posar a la revista Melody Maker un altre músic amb les mateixes idees que ell, Roger Hodgson i contracten uns altres dos músics a sou: Richard Palmer a la guitarra i Robert Millar a la bateria. Es van posar el nom de Daddy però Rick havia llegit la novel·la de W.H. DavidAutobiography of a Supertramp i d'aquí decideixen adoptar el nom. Acaba de néixer un dels grans GRUPS (les majúscules són a propòsit) de la història de la música: Supertramp.
El primer disc apareix de seguida, gràcies a A&M Records, i li posen de nom "Supertramp" (1970). En aquest disc s'hi reuneixen totes les noves tendències musicals britàniques, però el gran públic no respon, es foten la santa hòstia a nivell comercial i la banda s'acaba trencant. Fan fora Palmer -que havia posat lletra a molts temes- i Millar i fitxen a Kevin Currie a la bateria, Dave Winthrop a la secció de vent i Frank Farrell al baix.
Amb aquest nou quintet enregistren el seu segon LP "Indelibly stamped" (1971). El disc és molt diferent al primer amb ritmes rockanrollers i una portada suggerent. Tot i els singles "Your poppa don't mind" i "Forever" el disc tampoc ven. El mecenes neerlandès va veure com se li escapaven tots los duros sense cap rendiment, els va tancar l'aixeta i Davies i Hodgson es tornen a quedar sols.
Tanmateix A&M encara confia en ells. Ara agafen a Bob Benberg a la bateria, John Helliwell al saxo i Dougie Thomson al baix. La discogràfica els tanca en una granja en plena campinya anglesa per a què estiguin aïllats i concentrats i d'allí sortirà el seu tercer disc "Crime of the century" (1974) amb una altra icònica portada de la reixa que passaria a formar part de la imatge del grup. La producció va a càrrec de Ken Scott, que havia triomfat amb el Ziggy Stardust de David Bowie, i ho fan tan bé que el disc és número 4 al RU i es col·loca durant setanta-sis setmanes en les llistes de vendes americanes. I la gran acceptació sobretot ve a causa de dos temes. Un és una autèntica joia "Dreamer" amb unes veus i unes melodies que s'entrellacen i l'altra és "School", que no va sortir ni en single però que s'ha convertit en un dels temes més clàssic de la banda.
L'any següent es publica "Crisis? What crisis?" (1975) que ven una mica menys que l'anterior però que els consolida en vendes i en gires mundials. Els temes combinen la veu de Davis ("Ain't nobody but me") i de Hodgson ("Lady", "Sister moonshine"). La portada, com sempre, fabulosa.
Els Supertramp s'estableixen a Califòrnia i adquireixen noves fonts d'inspiració sense perdre el seu aire intel·lectual que tan agradava als seus fans. Així apareix el cinquè disc "Even in the quietest moments..." (1977). El disc arriba a disc d'or, es col·loca al 16 de la Billboard, venen dos milions i mig de còpies en dos mesos a Europa i ara ja els Supertramp són coneguts arreu del món arribant a un nou públic. A&M aprofita per reeditar els discos anteriors. I tot això sobretot gràcies un tema que només va arribar al 15 en llistes americanes però que és un altre clàssic "Give a little bit". També es d'aquest disc "From now on" de Davis i el curiós tancament de "Fool's overture" de gairebé 11 minuts. En aquest tema s'inclouen efectes de so d'una al·locució de Winston Churchill sobre l'entrada del RU a la II Guerra Mundial, sons de cotxe de policia, les campanes del Big Ben, un extracte del "Venus" de Gustav Holst, el poema Jerusalem de William Blake. Segons Hodgson és una suite "mescla d'idees sobre esdeveniments històrics i que cadascú interpreti la cançó a la seua manera". La portada, aquella del piano amb neu. Tothom la coneix.
I ara ja, amb el sisè disc, ho peten tot. Amb "Breakfast in America" (1979) els EUA se'ls fan seus i baten rècords de vendes a punta pala. Número 1 en vendes a mig món (als EUA sí però al RU es va quedar al 3 i doble or a l'estat espanyol), dos Grammys, 30 milions de còpies venudes i un dels discos més venuts dels anys 70. Fan una gira mundial amb 108 concerts i acaben amb 4 concerts al Pavillon de París. A França és el disc d'un grup anglès més venut de tots els temps. El primer senzill va ser "The logical song", la coneguda intro de piano i castanyoles, xiulets i una ràpida successió de paraules esdrúixoles (wonderful, magical, happily, sensible, practical...). El tema "Breakfast in America" dona títol a l'àlbum arriba al 9 RU. "Goodbye stranger" també es col·loca al 15 EUA. Per últim "Take the long way home" arriba al Top 10 EUA. Us enllaço la lectura de l'article que va fer l'Olga Suanya al ChelseaHotel sobre la més que icònica portada del disc relacionada fins i tot amb teories profètiques de l'11S. Dels concerts a París publiquen el directe "Paris" (1980) que continuaria amb bones vendes situant-se al 7 RU i al 8 EUA i amb una nova versió en single del "Dreamer".
"...Famous last words..." (1982) va ser el setè disc d'estudi. Un disc que continuà venent molt bé (5 EUA i 6 RU). És el disc de "My kind of lady" que escriu i canta Davies però sobretot sobretot és el disc de la meua cançó preferida dels Supertramp "It's raining again" tot i arribar només a l'11 EUA i al 25 RU. Davies i Hodgson sempre havien signat les cançons junts encara que les hagués compost un o l'altre, en l'últim disc ja distingien per colors de qui era cadascuna i aquests mal rotllos se van anar fent grans fins que Hodgson abandona el grup per a publicar "In the eye of the storm" (1985) amb un so absolutament similar al de Supertramp amb la qual cosa fa pensar als fans que ell era l'essència de la banda.
Per altra banda, Davies i la resta del grup publiquen "Brother, where you bound" (1985) i la seua dona Sue es converteix en mànager de la banda. L'èxit del disc fou relatiu arribant als llocs 20 i 21 de les llistes EUA i RU i sobretot gràcies al tema "Cannonball", el que va ser el darrer single d'èxit que es va quedar al 28 de les llistes americanes. En definitiva, que el públic se n'adonà que l'essència de Supertramp no eren ni un ni l'altre sinó en el conjunt.
El següent treball "Free as a bird" (1987) va ser un estrepitós fracàs. Davies deixava el rock progressiu per adaptar-se a les noves modes més pop i dance. Ni el single "I'm beggin' you" ni el fitxatge de Mark Hart dels Crowded House van evitar el cataclisme comercial del disc. Després d'una llarga pausa de 10 anys per pair el que havia passat graven "Some things never change" (1997) retornant al seu so clàssic i amb bones cançons com "You win I lose" i "Listen to me please". les vendes no eren les que van arribar a ser però van millorar arribant a disc d'or i platí en diferents llocs.
"It was the best of times" (1999) és un disc en directe gravat al Royal Albert Hall de Londres i del qual s'extreu com a single la versió en directe de "Free as a bird", un dels pitjors temes de la banda i del pitjor disc. A continuació vindria "Slow motion" (2002) amb el que posarien punt final als àlbums d'estudi i es dedicarien entre tots a denunciar-se pels drets d'autor i els royalties.
Rick Davies ha mort als 81 anys víctima d'un càncer de medul·la que li van diagnosticar el 2015.
