Els nuggets de Frobenius

Durant uns anys, una coneguda cadena de menjar ràpid, venia els nuggets en paquets de 6, 9 o 20. Si algú volia fer una comanda de 15 nuggets només li calia demanar un paquet de 6 i un paquet de 9 ja que 6+9=15. Si algú en volia 21 havia de fer una comanda de dos paquets de 6 i un de 9 perquè 6+6+9=21. Si hi havia molta gana i es volien demanar 33 nuggets es podien demanar 4 paquets de 6 i un de 9: 6+6+6+6+9=33. Però i si pensem que amb 33 nuggets fem curt i en volem 34? Doncs no podríem ja que no existeix cap combinació amb 6, 9 i 20 que doni 34. Per tant, o ens quedem amb gana i en demanem 33 o tirem llarg i en demanem 35, un paquet de cada.

Resulta que hi ha certes quantitats de nuggets que no es poden aconseguir amb aquestes combinacions de caixes: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 i 43. A partir de més de 43 nuggets ja és possible fer qualsevol comanda combinant les caixes disponibles de 6, 9 i 20. Aquest 43 és el nombre de nuggets més gran que no es pot aconseguir amb paquets de 6, 9 i 20 i aquest curiós nombre rep el nom de nombre de Frobenius [6, 9, 20] (també se’l coneix com a nombre McNugget).

No sé si els encarregats de màrqueting d’aquesta cadena d’hamburgueseries van estudiar aquesta situació però la veritat és que van afegir la possibilitat de comprar els nuggets en una caixa de 4 i he comprovat que han ampliat el paquet de 20 a 25 nuggets de tal manera que ara les combinacions són amb 4, 6, 9 i 25. Amb aquestes noves combinacions de nuggets per caixa el nombre de Frobenius [4, 6, 9, 25] és força més petit i deixo al lector o lectora que l’intenti descobrir. 

Històricament aquest problema de combinatòria o de recompte prové del conegut problema de les monedes de Frobenius. Aquest problema consisteix en esbrinar quina és la major quantitat de diners que no es pot obtenir utilitzant monedes d’un valor específic. Per exemple, si només existissin monedes de 3 i 5 cèntims d’euro podríem fer qualsevol combinació que sumés una quantitat major que 7 però no podem aconseguir 7 cèntims. I amb la mateixa idea penseu en els caixers automàtics de les entitats bancàries… n’hi ha prou amb bitllets de 20 € i 50 € per a poder aconseguir qualsevol quantitat de diners que sigui múltiple de 10 i major de 30 €?

Frobenius

El 26 d’octubre de 1849, avui fa 176 anys, naixia el matemàtic alemany Ferdinand Georg Frobenius. Sobretot és conegut, juntament amb Eugène Rouché, per un dels teoremes més importants de l’àlgebra del s.XX, el teorema de Rouché-Frobenius sobre les solucions d’un sistema d’equacions però va treballar en nombrosos camps de les matemàtiques i molts dels seus articles figuren avui en llibres de text.

(Article publicat al Lectura el 26 d'octubre de 2025)