Fa unes setmanes, en un informatiu, el presentador va dir que el nombre d’infectats per la Covid creixia exponencialment ja que cada dia hi havia 1.000 nous infectats. Això vol dir que si es parteix, per exemple, d’un valor inicial de 10.000 infectats, al dia següent n’hi haurà 11.000, i el següent 12.000, i el següent 13.000 i així successivament. Per conèixer el nombre total d'infectats un dia només cal sumar 1.000 al nombre d’infectats del dia anterior. Evidentment el nombre d’infectats va creixent però no és un creixement exponencial, és un creixement que s’anomena lineal i els números 10.000, 11.000, 12.000, 13.000… formen el que es diu una progressió aritmètica. Si enlloc de sumar anem restant tindrem un decreixement.
Per a què aquest creixement fos un creixement exponencial caldria que el nombre d’infectats cada dia es multipliqués per 2 per exemple. Així partint d’un supòsit de 10.000 infectats el primer dia, el segon dia n’hi hauria 20.000, el tercer 40.000, el quart dia 80.000… veient que el nombre d’infectats creix molt més ràpidament que el cas anterior. Ara direm que els números 20.000, 40.000, 80.000, 160.000... estan en progressió geomètrica. Si el número pel qual anem multiplicant és un número entre 0 i 1 aleshores tindrem un decreixement… i per això és molt important tenir aquell famosa taxa de contagis per sota de l’1. Aquest tipus de progressió modelitza moltes situacions i és força utilitzada en matemàtiques, economia, estudi de poblacions, càlculs d’hipoteques o amortitzacions, augments o disminucions successives de preus, ampliacions de fotocòpies... i fins i tot la separació dels trastes d’una guitarra!
Per entendre bé la dimensió del creixement exponencial d’una progressió geomètrica m’ajudaré d’una coneguda llegenda índia. El rei Iadava havia perdut el seu fill en un combat i el savi Sessa li va dissenyar un joc per fer-li passar la tristesa. El joc consistia en un tauler de 64 caselles i unes peces que s’havien de fer moure amb uns moviments determinats. Un cop explicades les instruccions del xaturanga (l’avantpassat dels escacs) el rei es feu un bon fart de jugar, i com s’ho va passar pipa amb el joc decidí premiar el savi que l’havia inventat dient-li que demanés el que desitgés. El savi, enlloc de demanar un castell o una altra cosa similar que hagués demanat qualsevol altre en aquell temps, va demanar al rei que posés un gra d’arròs en la primera casella del taulell, 2 grans d’arròs en la següent casella, 4 en la següent, 8, 16, 32… i així anant multiplicant cada cop per 2 fins omplir les 64 caselles. El rei se’n va enfotre de l’excentricitat del savi i va demanar als seus algebristes que li calculessin els grans d’arròs necessaris per acontentar-lo. Quan el rei va saber que en l’última casella havia de posar 9.223.372.036.854.775.808 grans d’arròs i que en el total del tauler n’hi hauria d'haver 18.446.744.073.709.551.615 va embogir. Suposant que 100 grans d’arròs pesen uns 2,5 grams, caldrien 461.169 milions de tones d’arròs. Per a què us feu la idea, la producció mundial d’arròs el 2020 segons la FAO va ser de 510,6 milions de tones i, per tant, necessitaríem la producció mundial d’arròs durant 903 anys per acontentar el capritxós savi.
Creixements
En aquest gràfic podem comparar els creixements. Les corbes de color taronja i verd creixen exponencialment, en canvi la corba de color blau creix linealment, molt més lentament. La corba roja segueix un decreixement exponencial.
1 comentari:
La llegenda acaba amb el savi mort per avariciós, o sigui que tan savi no era...
Publica un comentari a l'entrada