Geodèsiques

Si anem, per exemple, de Lleida a Balaguer podem passar per la C-13 fent una distància de 32,5 km o per la C-12 recorrent 26,8 km o fins i tot per la LP-9221 fins Algerri i després per la C-26 fent 39,2 km. Aleshores, quina és la distància entre Lleida i Balaguer? La geometria defineix la distància entre dos punts com la més petita de totes les longituds que uneixen aquests dos punts.  

Sempre ens han dit que la distància més curta entre dos punts és la recta, però això només és cert en una superfície plana, en allò que els matemàtics anomenem geometria euclidiana. Però la Terra no és plana (no, no ho és) sinó que és més o menys esfèrica i per tant és complicat parlar de rectes. Preneu una síndria sencera, dibuixeu-hi dos punts i proveu d’unir-los amb una línia recta per sobre de la superfície de la síndria… és realment una recta la línia que heu dibuixat? No perquè aquesta línia té certa curvatura ja que la síndria no és plana, és esfèrica, com la Terra.

La geometria diferencial és la branca de les matemàtiques que s’encarrega d’estudiar les geometries que no són planes i es va desenvolupar majoritàriament durant el s.XIX sent una autèntica revolució matemàtica. Els matemàtics Nicolai Ivànovitx Lobatxevski (1792-1856) i Janos Bolyai (1802–1860) van ser els primers en adonar-se d’aquestes noves geometries. «He creat un món nou i diferent a partir del no-res» va arribar a dir Bolyai. També Carl Friedrich Gauss (1777-1855) havia estat interessat en les geometries no euclidianes. Eugenio Beltrami (1835–1899) i Bernhard Riemann (1826–1866), que en la seua tesi doctoral ja parlava de mesurar longituds i angles en qualsevol superfície, van ser els principals responsables de l’acceptació de la nova geometria. Finalment la van consolidar matemàtics com Felix Klein (1849-1925), Henri Poincaré (1854-1912) i David Hilbert (1862-1943) . 

Així doncs, en qualsevol superfície, el camí de longitud mínima que uneix dos punts qualssevol s’anomena geodèsica. En un pla la geodèsica és un segment recte però en altres superfícies les geodèsiques passen a ser unes corbes que depenen de la superfície en la qual es treballa i dels punts que es vulguin unir. Estudiem el cas de la geometria esfèrica i ho fem amb la síndria que ja hem fet servir abans, com trobem la geodèsica entre dos punts de la superfície de la síndria? Si fem un tall a la síndria que passi alhora pels dos punts que hi hem dibuixat i pel centre de la síndria i ens fixem amb la corba que queda entre els dos punts de la superfície de la síndria, aquesta corba és la geodèsica d’una esfera. En definitiva, que les geodèsiques d’una esfera són les circumferències màximes que passen pels dos punts que volem unir: la intersecció de l’esfera amb un pla que passa pel seu centre. Els meridians terrestres són exemples de geodèsiques, en canvi, l’únic paral·lel que ho és és l’Equador.

Les geodèsiques a les esferes són importants per a les rutes d’avió o vaixell a llarga distància. En la imatge podeu veure una aproximació feta amb un cordill sobre un globus terraqüi de quina seria la geodèsica entre Lleida i San Francisco per si algun dia d’aquest estiu voleu fer un viatget. Fixeu-vos com no coincideix amb cap paral·lel terrestre.

(Article publicat al Lectura del 24 de juliol de 2022)