Durant uns anys, una coneguda cadena de menjar ràpid, venia els nuggets en paquets de 6, 9 o 20. Si algú volia fer una comanda de 15 nuggets només li calia demanar un paquet de 6 i un paquet de 9 ja que 6+9=15. Si algú en volia 21 havia de fer una comanda de dos paquets de 6 i un de 9 perquè 6+6+9=21. Si hi havia molta gana i es volien demanar 33 nuggets es podien demanar 4 paquets de 6 i un de 9: 6+6+6+6+9=33. Però i si pensem que amb 33 nuggets fem curt i en volem 34? Doncs no podríem ja que no existeix cap combinació amb 6, 9 i 20 que doni 34. Per tant, o ens quedem amb gana i en demanem 33 o tirem llarg i en demanem 35, un paquet de cada.
Resulta que hi ha certes quantitats de nuggets que no es poden aconseguir amb aquestes combinacions de caixes: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 i 43. A partir de més de 43 nuggets ja és possible fer qualsevol comanda combinant les caixes disponibles de 6, 9 i 20. Aquest 43 és el nombre de nuggets més gran que no es pot aconseguir amb paquets de 6, 9 i 20 i aquest curiós nombre rep el nom de nombre de Frobenius [6, 9, 20] (també se’l coneix com a nombre McNugget).
No sé si els encarregats de màrqueting d’aquesta cadena d’hamburgueseries van estudiar aquesta situació però la veritat és que van afegir la possibilitat de comprar els nuggets en una caixa de 4 i he comprovat que han ampliat el paquet de 20 a 25 nuggets de tal manera que ara les combinacions són amb 4, 6, 9 i 25. Amb aquestes noves combinacions de nuggets per caixa el nombre de Frobenius [4, 6, 9, 25] és força més petit i deixo al lector o lectora que l’intenti descobrir.
Històricament aquest problema de combinatòria o de recompte prové del conegut problema de les monedes de Frobenius. Aquest problema consisteix en esbrinar quina és la major quantitat de diners que no es pot obtenir utilitzant monedes d’un valor específic. Per exemple, si només existissin monedes de 3 i 5 cèntims d’euro podríem fer qualsevol combinació que sumés una quantitat major que 7 però no podem aconseguir 7 cèntims. I amb la mateixa idea penseu en els caixers automàtics de les entitats bancàries… n’hi ha prou amb bitllets de 20 € i 50 € per a poder aconseguir qualsevol quantitat de diners que sigui múltiple de 10 i major de 30 €?
Frobenius
El 26 d’octubre de 1849, avui fa 176 anys, naixia el matemàtic alemany Ferdinand Georg Frobenius. Sobretot és conegut, juntament amb Eugène Rouché, per un dels teoremes més importants de l’àlgebra del s.XX, el teorema de Rouché-Frobenius sobre les solucions d’un sistema d’equacions però va treballar en nombrosos camps de les matemàtiques i molts dels seus articles figuren avui en llibres de text.
(Article publicat al Lectura el 26 d'octubre de 2025)
Darrerament es parla molt en els entorn pedagògics de l’àmbit de les matemàtiques sobre la manera d’aprendre les taules de multiplicar. Cal saber-se les taules de multiplicar? Quines? Per què de l’1 al 10 i no la de l’11 o la del 13? Cal saber la del 4 si és el doble de la del 2? I la del 8 o la del 6? Però si volem que l’alumnat aprengui les taules de multiplicar com ho fem per a què comprenguin què estan fent quan multipliquen?
La multiplicació és la repetició d’una suma de la mateixa quantitat. Si fem 4×5 el que estem fent és sumar 4 vegades el 5: 4×5=5+5+5+5=20. Si no recordem quan és 5×5 i sí recordem quant és 4×5 podem deduir que és afegir un 5 més al 20, per tant 5×5=20+5=25. Multiplicar és més ràpid que fer aquestes sumes que amb nombres grans poden arribar a ser molt llargues. Multipliquem quan volem saber quants ous hi ha en 4 paquets de 6, quants pisos hi ha en un edifici de 6 plantes amb 4 habitatges per replà, quants seients hi ha en una sala si hi ha 6 files de 4 cadires o per saber de quantes maneres em puc vestir si tinc 4 pantalons i 6 camises.
La humanitat fa anys que té la necessitat de multiplicar. Els egipcis, que eren molt pràctics, només els calia saber la taula del 2 ja que ho descomponien tot a partir de les potències de 2 i sumaven resultats. Si volien fer 13×12 feien 13×8 i 13×4 i ho sumaven. Els babilonis van fer les primeres taules de multiplicar i grecs, indis i àrabs van desenvolupar diferents mètodes de multiplicar, alguns de geomètrics a partir de la construcció de rectangles i buscar la seua àrea, com feia Euclides. Per a multiplicar 4×5 construïm un rectangle de 4 quadradets de base i 5 d’altura i comptem els quadradets que queden a l’interior, això és una multiplicació a partir del càlcul de l’àrea.
Tota la comunitat matemàtica està d’acord en què a l’hora de sumar cal fer servir el símbol + però a l’hora de multiplicar la tenim dividida entre els que prefereixen utilitzar × o bé ·. El signe × va ser introduït pel clergue i matemàtic William Oughtred el 1631 en el seu llibre Clavis Mathematicae. El motiu que va donar fou que era fàcil i ràpid d’escriure. El 1698 Gottfried Leibniz escriu una carta a Johann Bernoulli on li deia: “No m’agrada × com a símbol de la multiplicació, ja que es confon fàcilment amb x; … Sovint utilitzo simplement un punt i indico la multiplicació com a·b" i així es va popularitzar el punt volat. Amb l’arribada de la informàtica a mitjans del segle XX i a causa que el símbol x no apareix als teclats es va popularitzar l’asterisc * per a indicar multiplicacions. També és habitual no posar cap símbol quan s’utilitza en expressions algebraiques com 5x que vol dir x+x+x+x+x. Finalment també existeix la notació (a)(b) proposada per Ricard Dedekind i utilitzada en certs contextos.
Multiplicar amb àrees
Si volem multiplicar 15×12 ho podem fer amb rectangles. Construim un rectangle de 15 files i 12 columnes i el dividim en rectangles més petits fàcils de comptar àrees. En aquest cas un de 10×10=100, un de 2×10=20, un de 10×5=50 i un de 2×5=10. Per tant podem dir que 15×12=100+20+50+10=180. És un bon mètode per entendre què fem quan multipliquem i per buscar trucs de càlcul mental.
(Article publicat al Lectura el 28 de setembre de 2025)
Als anys seixanta el rock es posa dur gràcies als Led Zeppelin. La seua influència als en la dècada dels setanta fa que apareguin bandes com Iron Maiden, Judas Priest o Def Leppard. Però els Zeppelin van tenir dos hereus que van ser claus en la història del heavy metal, els Deep Purple i els Black Sabbath.
A l'àrea de Birmingham havia nascut un txiquet de nom John Michael però de ben petit l'anomenaven carinyosament Ozzy. No va tenir una infància fàcil, amb 15 anys abandonà els estudis i se'n va anar a treballar de paleta i als 17 anys ja era condemnat per robatori en una botiga de roba, com no va poder pagar la multa i son pare no la va voler pagar per alliçonar-lo Ozzy va passar sis setmanes a garjola. Gràcies als Beatles Ozzy es va interessar pel rock i el 1967 va ser fitxat com a cantant en la banda de Geezer Butler, la banda va durar només dos concerts. Aleshores els Polka Tulk Blues de Tony Iommi i el bateria Bill Ward els incorporen rebatejant-se com a Earth. El nom no els acabava de fer el pes fins que composen un tema de títol "Black Sabbath" que els agrada tant que es canvien el nom justament a Black Sabbath.
Graven el primer disc "Black Sabbath" (1969) i potser és el disc més rendible de la història de la música. Amb només dos dies de gravació i 800 lliures de pressupost que els va oferir Warner aconsegueixen posar-lo al 8 de les llistes britàniques en gran part gràcies als temes "Black Sabbath", "Evil woman" i "The wizard". Va ser un èxit comercial inesperat a les emissores de ràdio britàniques que es va posar a la venda justament un divendres 13. En aquesta època Ousborne coneix a Sharon Arden que anys després seria la seua esposa i contracta al seu sogre de manager. Això és el que es diu entrar bé amb la família política. L'anterior relació havia acabat després que es posés a disparar contra les gallines de la seua parella en una tarda de borratxera. Amb aquesta portada -la més tètrica de la història de la música- i amb alguna lletra, només cal escoltar el primer single en forma de poesia amb les campanes i la pluja, Black Sabbath es converteix en la banda que millor correlaciona satanisme i metal. Si us fixeu en la portada apareix un casalot a vora d'un riu amb una dona (persona o fantasma?) en primer pla. Aquesta fotografia ningú ha sapigut trobar d'on és i a més els Sabbath van fer córrer la llegenda que quan van fer la foto no hi havia cap persona...
Amb el segon disc "Paranoid" (1970) comencen amb la seua obsessió de títols de paraules relacionades amb desequilibris mentals. D'aquest disc extreuen com a single "Paranoid" que es converteix en el major èxit en llistes arribant al 4 RU -l'únic single Top Ten- i catapultant el disc a l'1 en vendes. S'explica que el so característic del disc va venir pel fet que Iommi es va tallar un dit i es va veure obligat a afinar i tocar la guitarra mig to més baix. Amb aquest single van tenir el primer pollastre en escena, durant un concert a Newcastle la multitud completament borratxa va envair
l'escenari, els van destrossar els equips de so, van robar la bateria i van ser atacats per un grup d'skinheads ofesos pel tema "Fairies wear boots". D'aquest disc també son "Iron man" i "War pigs". Justament aquest havia de ser el títol del disc però en plena guerra del Vietnam van ser censurats per la discogràfica davant l'amença de veto de les emissores americanes. Una curiosa evolució del satanisme a l'antibel·licisme.
Només uns mesos més tard publiquen "Master of reality" (1971) seguint la línia de vendes però aquest cop entrant també amb força al mercat americà arribant al 8 EUA i al 5 RU i sent disc d'or en dos mesos. "Children of the grave" n'és el tema més destacat. En aquest LP s'inclou el curiós tema "After forever" en el qual s'animava als joves ateus a que creguessin en Déu (They should realize before they criticize that God is the only way to love) i el problema suposo que devia ser que ho cantava qui ho cantava i l'església va considerar la cançó com a blasfèmia. Tot i que els membres de la banda confessaven el seu catolicisme es van crear la fama, a més és una època on les referències satàniques estan de moda i els obre les portes de bat a bat al mercat dels EUA i això els va portar conseqüències en la seua gira americana. Per exemple, a Memphis se van trobar la ciutat pintada de creus que simulaven ser de sang, durant el concert un satanista va pujar a l'escenari amb una daga i l'agrupació local de bruixes es va concentrar a la porta de l'hotel on s'hostatjaven fins que Geezer les va fer fora simulant un encanteri.
"Black Sabbath vol 4" (1972) va tornar a vendre més d'un milió de còpies als EUA arribant a disc d'or en un mes després de publicar-se, es situà al 13 EUA i 8 RU. El disc, molt més sorollós que els anteriors, és absolutament influenciat pel consum de cocaïna i la dependència de les drogues. "Tomorrow's dream" i la balada "Changes" van ser els singles que es van publicar. Les lletres depressives d'aquest disc van induir al suïcidi una infermera britànica, irònicament en la ressenya del disc a la revista People s'hi deia que "hauria d'incloure fulles d'afaitar".
El cinquè LP de la banda fou "Sabbath bloody Sabbath" (1973). El disc va costar deu i ajuda fer-lo per l'addició a les drogues i totes les substàncies psicotròpiques que poden imaginar-se, es van voler aïllar en un castell de Gal·les per poder escriure i compondre les lletres. Evidentment al castell hi van passar coses terrorífiques, veien persones que desapareixien, incendis a l'habitació d'Ozzy... van marxar a la primera nit cames ajudeu-me. La portada és una altra de les històriques del satanisme amb un home atacat per dimonis amb el 666 i censurada a Espanya. Tornava a buscar el costat terrorífic i màgic del rock acompanyant les posades en escena de la banda que eren molt teatrals en aquests aspectes. Els textos parlaven de drogues, morts, apocalipsis i van ser censurats i vetats per les cadenes i emissores la qual cosa va comportar que encara es promocionessin més en el seus concerts. El mateix tema "Sabbath bloody Sabbath" n'és un exemple (Living just for dying, dying just for you) o "Who are you" que es convertí en un èxit en el mercat britànic. Als teclat del tema "Sabbra Cadabra" hi trobem ni més ni menys que Rick Wakeman dels Yes, grups que no tenen absolutament res a veure un amb l'altre. En la gravació d'aquest disc ja comencen les discrepàncies entre Ozzy i Tommy.
A continuació arribaven "Sabotage" (1975) i "Technical ecstasy" (1976) amb singles com "It's alright" un gran tema on canta Bill Ward, "Gipsy", "She's gone" i "Am I going insane", cançó sobre drogues, alcohol i tot aquest món que els envoltava. El 1978, durant la gira d'aquest darrer disc Ozzy deixa el grup temporalment per formar la seua pròpia banda Blizzard of Ozz, nom proposat per son pare, i on destaca el guitarrista Randy Roads. El seu lloc a Black Sabbath l'ocupa Dave Walker.
Quan Ozzy es reincorporà a la banda van gravar "Never say die" (1978) . El disc va ser un fracàs comercial als EUA, no tant al RU ja que els singles "Never say die" i "Hard road" arribaren al 21 i al 33 en llistes. La relació entre Iommi i Ousbourne era ja insostenible i l'abril de 1979 és expulsat del grup amb l'excusa dels seus greus problemes de drogoaddicció... com si la resta de la banda no els tingués. El seu substitut seria Ronnie James Dio, cantant dels Rainbow.
El regnat d'Ozzy en solitari té el punt de partida en un exitós concert a Glasgow el 1980. La carrera comença amb un èxit excepcional amb els discos "Blizzard of Ozz" (1980) i "Diary of a madman" (1981). El cantant no estava disposat a perdre els seus fans diabòlics ni els beneficis comercials que li proporcionaven i a la portada del primer disc apareix disfressat de bruixot amb una creu. Durant la gira del segon disc (que la va anomenar Night of the Living Dead, en la seua línia) li dona per llençar carn crua des de l'escenari, carn que el públic li retornava. Fins que la cosa va començar a anar-se'n de les mans i al concert el públic s'avançava i li llençaven granotes, serps i gats morts. La imatge que crea és una barreja de cantant de heavy metal amb la de protagonista de pel·lícula de terror de sèrie B fins la seua més apoteòsica actuació a Des Moines, Iowa, on un dels assistents i va llençar un muricec viu a l'escenari. Ozzy li arrenca el cap d'una mossegada pensant-se que era una figura de goma i com a conseqüència es va passar una setmana amb injeccions antirràbiques. Però la llegenda ja estava feta. Quan va anar a signar el seu nou contracte amb CBS es va presentar a la sala de juntes de la discogràfica borratxo perdut i amb dos coloms i no se li acudí res més que fotre mossegada al cap d'un, l'escena va quedar immortalitzada en una icònica fotografia històrica.
El van acusar amb tres querelles de provocar el suïcidi d'un jove pel seu tema "Suicide solution", tema del seu primer disc en solitari. Ozzy va declarar que la idea de la cançó era fer conscient de la perillositat de l'abús de l'alcohol després de la mort de Bon Scott dels AC/DC. Ozzy va guanyar els judicis tot i les acusacions de l'advocat d'una de les famílies que l'acusava d'emprar tècniques en la gravació del disc amb freqüències que feia que l'oient no es pogués resistir al que es deia a la cançó i que en el mateix tema s'escoltava el missatge ocult "shoot, shoot, get the gun, get the gun".
La tràgica mort de Randy Roads durant aquesta gira americana del 1982 sembla ser que el frena. Per cert, en aquesta gira no se'ls acudeix res més que birlar una avioneta d'una aeròdrom que van acabar estampant-la contra el bus de la gira i estavellant-la contra una casa provocant dos morts. Amb Brad Gillis de substitut grava el doble directe "Speak of the devil" (1982) amb títol i portada en la seua línia. No el convenç i torna a canviar de guitarra posant a Jake E. Lee que ara sí atrau els fans. Amb "Bark at the moon" (1983) arriba a disc de platí. Però ara li cauen acusacions d'inducció a l'assassinat. La música del tema "Bark at the moon" sembla que va influir al jove canadenc James Jollimore a sortir al carrer amb un ganivet i a assassinar a una dona i els seus dos fills.
Encabat Ozzy va prendre consciència, finalment, i decidí dedicar el temps a fer cures de desintoxicació i per això en el moment més culminant triga tant en treure el següent LP "The ultimate sin" (1986). Aquí Lee deixa la banda per a formar Badlands. Curiosament després enregistra "Tribute" (1987) un disc amb material en directe en homenatge al primer guitarrista amb Zakk Wylde a la guitarra. Superada la seua addició a l'alcoholisme, a finals del 80, Ozzy lluitava per a continuar estant a la cima del heavy metal i el 1991 posa punt i final a la seua etapa satànica, alcohòlica i drogoaddicta amb "No more tears" (1991).
La formació original de Black Sabbath es tornen a reunir el 1997 per dos concerts a Birmingham, els quals s'enregistren i es publiquen amb el nom de "Reunion" (1998) incloent-hi dos temes inèdits d'estudi "Psycho man" i "Selling my soul" on la parella Iommy-Ousborne tornen a signar junts. La cosa els agrada (o els falten quartos, que és el que passa en aquests casos), fan gires junts un altre cop, editen directes i tornen a l'estudi amb "13" (2013) amb un tema apocalíptic sobre l'evolució tecnològica "End of the beggining". A lo tonto es posen al número 1 al Regne Unit. El bateria Bill Ward va haver de deixar el projecte per temes contractuals i va ser reemplaçat per Brad Wilk de Rage Againts the Machine. Osbourne va actuar en directe per últim cop en el concert Back to the beginning, amb la formació original de Black Sabbath al Villa Park de Birminghan el 5 de juliol de 2025.
Poques setmanes després, el 22 de juliol moria Ozzy Ousborne a causa d'una aturada cardíaca, des de que el 2020 li van diagnosticar Parkinson la seua salut se va anar veient agreujada.
.jpg)
.JPG)
